Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 2: Točka presjeka dviju linija
• Metoda 2 od 2: Problemi s kvadratnim funkcijama
• Savjeti

U dvodimenzionalnom prostoru dvije ravne linije sijeku se samo u jednoj točki, određene koordinatama (x, y). Budući da obje linije prolaze kroz točku njihova sjecišta, koordinate (x, y) moraju zadovoljiti obje jednadžbe koje opisuju te crte.Uz dodatnu vještinu, možete pronaći točke sjecišta parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Koraci

Metoda 1 od 2: Točka presjeka dviju linija

1. 1 Zapišite jednadžbu za svaki redak izoliranjem varijable y na lijevoj strani jednadžbe. Ostale izraze u jednadžbi treba staviti s desne strane jednadžbe. Možda će jednadžba koja vam je dana umjesto "y" sadržavati varijablu f (x) ili g (x); u ovom slučaju izolirajte takvu varijablu. Da biste izolirali varijablu, izvedite odgovarajuću matematiku s obje strane jednadžbe.
   • Ako vam jednadžbe ravnih linija nisu date, pronađite ih na temelju informacija koje poznajete.
   • Primjer... Date su ravne linije opisane jednadžbama ${ displaystyle y = x + 3}$ i ${ displaystyle y -12 = -2x}$... Da biste izolirali y u drugoj jednadžbi, dodajte 12 na obje strane jednadžbe: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 Izjednačite izraze s desne strane svake jednadžbe. Naš je zadatak pronaći točku sjecišta obje ravne linije, odnosno točku čije koordinate (x, y) zadovoljavaju obje jednadžbe. Budući da se varijabla "y" nalazi na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti. Zapišite novu jednadžbu.
   • Primjer... Kao ${ displaystyle y = x + 3}$ i ${ displaystyle y = 12-2x}$, tada možete napisati sljedeću jednakost: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Pronađite vrijednost varijable "x". Nova jednadžba sadrži samo jednu varijablu "x". Da biste pronašli "x", izolirajte ovu varijablu na lijevoj strani jednadžbe izvodeći odgovarajuću matematiku s obje strane jednadžbe. Trebali biste dobiti jednadžbu oblika x = __ (ako to nije moguće, preskočite na kraj ovog odjeljka).
   • Primjer. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • Dodati ${ displaystyle 2x}$ na svaku stranu jednadžbe:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • Oduzmite 3 sa svake strane jednadžbe:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • Podijelite svaku stranu jednadžbe sa 3:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 Pomoću pronađene vrijednosti varijable "x" izračunajte vrijednost varijable "y". Da biste to učinili, zamijenite pronađenu vrijednost "x" u jednadžbi (bilo kojoj) ravnoj liniji.
   • Primjer. ${ displaystyle x = 3}$ i ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 Provjeri svoj odgovor. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost "x" u drugoj jednadžbi retka i pronađite vrijednost "y". Ako dobijete različite vrijednosti y, provjerite jesu li vaši izračuni točni.
   • Primjer:${ displaystyle x = 3}$ i ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • Dobili smo istu vrijednost za "y", tako da nema grešaka u našim izračunima.
6. 6 Zapišite koordinate (x, y). Izračunom vrijednosti "x" i "y" pronašli ste koordinate presjeka dviju linija. Zapišite koordinate točke sjecišta u obliku (x, y).
   • Primjer. ${ displaystyle x = 3}$ i ${ displaystyle y = 6}$
   • Tako se dvije crte sijeku u točki s koordinatama (3,6).
7. 7 Izračuni u posebnim slučajevima. U nekim slučajevima vrijednost varijable "x" nije moguće pronaći. Ali to ne znači da ste pogriješili. Poseban slučaj događa se ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
   • Ako su dvije prave paralelne, one se ne sijeku. U ovom slučaju, varijabla "x" jednostavno će se poništiti, a jednadžba će se pretvoriti u besmislenu jednakost (na primjer, ${ displaystyle 0 = 1}$). U tom slučaju u odgovoru napišite to ravne linije se ne sijeku ili nema rješenja.
   • Ako obje jednadžbe opisuju jednu ravnu liniju, tada će postojati beskonačan broj točaka sjecišta. U tom će slučaju varijabla "x" jednostavno biti poništena, a jednadžba će se pretvoriti u strogu jednakost (na primjer, ${ displaystyle 3 = 3}$). U tom slučaju u odgovoru napišite to dvije ravne linije se podudaraju.

Metoda 2 od 2: Problemi s kvadratnim funkcijama

1. 1 Definicija kvadratne funkcije. U kvadratnoj funkciji jedna ili više varijabli imaju drugi stupanj (ali ne i viši), na primjer, ${ displaystyle x ^ {2}}$ ili ${ displaystyle y ^ {2}}$... Grafikoni kvadratnih funkcija su krivulje koje se ne smiju ili sijeku u jednoj ili dvije točke. U ovom odjeljku pokazat ćemo vam kako pronaći točku ili sjecišta kvadratnih krivulja.
   • Ako jednadžba uključuje izraz u zagradama, proširite zagrade kako biste bili sigurni da je funkcija kvadratna. Na primjer, funkcija ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ je kvadratni, budući da proširenje zagrada daje ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • Funkcija koja opisuje krug uključuje oboje ${ displaystyle x ^ {2}}$i ${ displaystyle y ^ {2}}$... Ako imate problema s rješavanjem problema s ovom funkcijom, idite na odjeljak "Savjeti".
2. 2 Prepišite svaku jednadžbu izoliranjem varijable y na lijevoj strani jednadžbe. Ostale izraze u jednadžbi treba staviti s desne strane jednadžbe.
   • Primjer... Pronađite točke (ove) sjecišta grafikona ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ i ${ displaystyle y = x + 7}$
   • Izolirajte varijablu y na lijevoj strani jednadžbe:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ i ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • U ovom primjeru date su vam jedna kvadratna funkcija i jedna linearna funkcija. Upamtite da ako imate dvije kvadratne funkcije, izračuni su slični donjim koracima.
3. 3 Izjednačite izraze s desne strane svake jednadžbe. Budući da se varijabla "y" nalazi na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti.
   • Primjer. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ i ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Prenesite sve članove dobivene jednadžbe na njezinu lijevu stranu, a na desnu upišite 0. Da biste to učinili, izvedite osnovne matematičke operacije. To će vam omogućiti da riješite dobivenu jednadžbu.
   • Primjer. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Oduzmite "x" s obje strane jednadžbe:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Oduzmite 7 s obje strane jednadžbe:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Riješite kvadratnu jednadžbu. Pomicanjem svih članova jednadžbe na njezinu lijevu stranu, dobivate kvadratnu jednadžbu. Može se riješiti na tri načina: pomoću posebne formule, nadopunjavanjem punog kvadrata i faktoringom jednadžbe.
   • Primjer. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • Prilikom faktoriranja jednadžbe dobivate dva binoma koja pomnožite kako biste dobili izvornu jednadžbu. U našem primjeru, prvi pojam ${ displaystyle x ^ {2}}$ može se proširiti na x * x. Unesite sljedeći unos: (x) (x) = 0
   • U našem primjeru, slobodni pojam -6 može se proširiti na sljedeće čimbenike: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • U našem primjeru drugi pojam je x (ili 1x). Dodajte svaki par faktora presretanja (u našem primjeru -6) dok ne dobijete 1. U našem primjeru, odgovarajući par faktora presretanja su -2 i 3 (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$), kao ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • Ispunite polja praznim brojevima: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Ne zaboravite na drugo sjecište dva grafikona. U žurbi možete zaboraviti na drugu raskrsnicu. Evo kako pronaći x koordinate dvije točke sjecišta:
   • Primjer (faktorizacija)... Ako je u jednadžbi ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ jedan od izraza u zagradama bit će jednak 0, tada će cijela jednadžba biti jednaka 0. Stoga ga možete napisati ovako: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ i ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (to jest, pronašli ste dva korijena jednadžbe).
   • Primjer (pomoću formule ili dopune do punog kvadrata)... Kada koristite jednu od ovih metoda, kvadratni korijen pojavit će se u procesu rješavanja. Na primjer, jednadžba iz našeg primjera poprimit će oblik ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... Upamtite, kada dobijete kvadratni korijen, dobivate dva rješenja. U našem slučaju: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, i${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Zato zapišite dvije jednadžbe i pronađite dvije x vrijednosti.
7. 7 Grafovi se sijeku u jednoj točki ili se uopće ne sijeku. Do takvih situacija dolazi kada su ispunjeni sljedeći uvjeti:
   • Ako se grafovi sijeku u jednoj točki, tada se kvadratna jednadžba razlaže na iste čimbenike, na primjer, (x-1) (x-1) = 0, a kvadratni korijen od 0 pojavljuje se u formuli (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). U ovom slučaju jednadžba ima samo jedno rješenje.
   • Ako se grafikoni uopće ne sijeku, tada se jednadžba ne razlaže na čimbenike, a kvadratni korijen negativnog broja pojavljuje se u formuli (na primjer, ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). U tom slučaju u odgovoru napišite da nema rješenja.
8. 8 Zamijenite pronađenu vrijednost varijable "x" u jednadžbi (bilo kojoj) krivulje. Ovo će pronaći vrijednost varijable y. Ako imate dvije vrijednosti za varijablu "x", slijedite opisani postupak s obje vrijednosti "x".
   • Primjer... Pronašli ste dvije vrijednosti za varijablu "x": ${ displaystyle x = 2}$ i ${ displaystyle x = -3}$... Uključite svaku od ovih vrijednosti u linearnu jednadžbu ${ displaystyle y = x + 7}$... Dobit ćete: ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ i ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Zapišite koordinate točke sjecišta u obliku (x, y). Izračunavanjem vrijednosti x i y pronašli ste koordinate presjeka dvaju grafikona. Ako ste identificirali dvije vrijednosti "x" i "y", zapišite dva para koordinata bez zbunjivanja odgovarajućih vrijednosti "x" i "y".
   • Primjer... Kada se zamijeni u jednadžbu ${ displaystyle x = 2}$ Dobit ćeš ${ displaystyle y = 9}$, odnosno jedan par koordinata (2, 9)... Radeći isti izračun s drugom x-vrijednošću, dobit ćete drugi par koordinata (-3, 4).

Savjeti

• Funkcija koja opisuje krug uključuje oboje ${ displaystyle x ^ {2}}$i ${ displaystyle y ^ {2}}$... Da biste pronašli točke (ove) sjecišta kruga i ravne crte, izračunajte "x" pomoću linearne jednadžbe. Zatim uključite pronađenu vrijednost x u funkciju koja opisuje krug i dobit ćete jednostavnu kvadratnu jednadžbu koja možda nema rješenje ili ima jedno ili dva rješenja.
• Kružnica i krivulja (kvadratna ili na drugi način) ne smiju se presijecati niti presijecati u jednoj, dvije, tri, četiri točke. U ovom slučaju morate pronaći vrijednost x (ne "x"), a zatim je zamijeniti drugom funkcijom. Izračunavanjem y dobivate jedno ili dva rješenja ili ih uopće nema. Sada uključite pronađenu vrijednost "y" u jednu od dvije funkcije i pronađite vrijednost "x". U tom slučaju dobit ćete jedno ili dva rješenja ili ih uopće nema.