Sadržaj

• Preliminarne informacije
• Koraci
• 1. dio od 3: Osnove
• Dio 2 od 3: Svojstva Laplaceove transformacije
• Dio 3 od 3: Pronalaženje Laplaceove transformacije proširenjem serije

Laplaceova transformacija je integralna transformacija koja se koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima. Ova se transformacija naširoko koristi u fizici i inženjerstvu.

Iako možete koristiti odgovarajuće tablice, korisno je razumjeti Laplaceovu transformaciju kako biste to mogli učiniti sami ako je potrebno.

Preliminarne informacije

• S obzirom na funkciju ${ displaystyle f (t)}$definirano za ${ displaystyle t geq 0.}$ Zatim Laplaceova transformacija funkcija ${ displaystyle f (t)}$ je sljedeća funkcija svake vrijednosti ${ displaystyle s}$, pri čemu integral konvergira:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplaceova transformacija preuzima funkciju od t-regije (vremenska skala) do s-regije (transformacijska regija), gdje ${ displaystyle F (s)}$ je složena funkcija složene varijable. Omogućuje vam premještanje funkcije na područje gdje se lakše može pronaći rješenje.
• Očito je Laplaceova transformacija linearni operator, pa ako imamo posla sa zbrojem pojmova, svaki se integral može izračunati zasebno.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Upamtite da Laplaceova transformacija funkcionira samo ako integral konvergira. Ako funkcija ${ displaystyle f (t)}$ ima diskontinuitete, potrebno je biti oprezan i ispravno postaviti granice integracije kako bi se izbjegla neizvjesnost.

Koraci

1. dio od 3: Osnove

1. 1 Zamijenite funkciju u Laplaceovu formulu transformacije. Teoretski, Laplaceovu transformaciju funkcije je vrlo lako izračunati. Kao primjer, razmotrite funkciju ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, gdje ${ displaystyle a}$ je složena konstanta sa ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Procijenite integral koristeći dostupne metode. U našem primjeru, procjena je vrlo jednostavna i možete se snaći jednostavnim izračunima. U složenijim slučajevima mogu biti potrebne složenije metode, na primjer, integracija po dijelovima ili razlikovanje pod integralnim znakom. Uvjet ograničenja ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ znači da integral konvergira, odnosno njegova vrijednost teži 0 as ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {poravnato}}}$
   • Imajte na umu da nam to daje dvije vrste Laplaceove transformacije, s sinusom i kosinusom, budući da prema Eulerovoj formuli ${ displaystyle e ^ {iat}}$... U ovom slučaju u nazivniku dobivamo ${ displaystyle s-ia,}$ a ostaje samo odrediti stvarne i zamišljene dijelove. Također možete izravno procijeniti rezultat, ali to bi potrajalo malo duže.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = ime operatora {Re} lijevo ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin u } = ime operatora {Im} lijevo ({ frac {1} {s-ia}} desno) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Razmotrimo Laplaceovu transformaciju funkcije moći. Prvo morate definirati transformaciju funkcije moći, budući da vam svojstvo linearnosti omogućuje da pronađete transformaciju za od svega polinomi. Funkcija oblika ${ displaystyle t ^ {n},}$ gdje ${ displaystyle n}$ - bilo koji pozitivan cijeli broj. Može se integrirati komad po dio za definiranje rekurzivnog pravila.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ovaj rezultat je izražen implicitno, ali ako zamijenite nekoliko vrijednosti ${ displaystyle n,}$ možete uspostaviti određeni obrazac (pokušajte to učiniti sami), što vam omogućuje da dobijete sljedeći rezultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Također možete definirati Laplaceovu transformaciju razlomljenih snaga pomoću gama funkcije. Na primjer, na ovaj način možete pronaći transformaciju funkcije kao što je ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac {{ sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Iako funkcije s razlomljenim moćima moraju imati rezove (zapamtite, sve složene brojeve ${ displaystyle z}$ i ${ displaystyle alpha}$ može se napisati kao ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, jer ${ displaystyle e ^ { alpha ime operatora {Dnevnik} z}}$), uvijek se mogu definirati na takav način da rezovi leže u lijevoj poluravnini i na taj način izbjeći probleme s analitičnošću.

Dio 2 od 3: Svojstva Laplaceove transformacije

1. 1 Pronađimo Laplaceovu transformaciju funkcije pomnoženu sa eat{ displaystyle e ^ {at}}. Rezultati dobiveni u prethodnom odjeljku omogućili su nam da saznamo neka zanimljiva svojstva Laplaceove transformacije. Čini se da je Laplaceova transformacija funkcija kao što su kosinus, sinus i eksponencijalna funkcija jednostavnija od transformacije funkcije moći. Množenje sa ${ displaystyle e ^ {at}}$ u t-regiji odgovara smjena u s-regiji:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ovo vam svojstvo odmah omogućuje da pronađete transformaciju funkcija kao što su ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, bez potrebe za izračunavanjem integrala:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Pronađimo Laplaceovu transformaciju funkcije pomnoženu sa tn{ displaystyle t ^ {n}}. Prvo razmislite o množenju sa ${ displaystyle t}$... Po definiciji, možemo razlikovati funkciju pod integralom i dobiti iznenađujuće jednostavan rezultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { djelomično} { djelomično s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {poravnato}}}$
   • Ponavljajući ovu operaciju, dobivamo konačni rezultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Iako preuređivanje operatora integracije i diferencijacije zahtijeva neko dodatno opravdanje, ovdje ga nećemo predstaviti, već samo napomenuti da je ova operacija točna ako konačni rezultat ima smisla. Također možete uzeti u obzir činjenicu da su varijable ${ displaystyle s}$ i ${ displaystyle t}$ ne ovise jedno o drugom.
   • Koristeći ovo pravilo, lako je pronaći transformaciju funkcija kao što su ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, bez ponovne integracije po dijelovima:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac {{mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Pronađite Laplaceovu transformaciju funkcije f(at){ displaystyle f (at)}. To se može lako učiniti zamjenom varijable s u pomoću definicije transformacije:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F lijevo ({ frac {s} {a}} desno) end {poravnato}}}$
   • Gore smo pronašli Laplaceovu transformaciju funkcija ${ displaystyle sin at}$ i ${ displaystyle cos at}$ izravno iz eksponencijalne funkcije. Koristeći ovo svojstvo, možete dobiti isti rezultat ako pronađete stvarne i imaginarne dijelove ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Pronađi Laplaceovu transformaciju izvedenice f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Za razliku od prethodnih primjera, u ovom slučaju moram integrirati dio po dio:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {poravnato}}}$
   • Budući da se druga izvedenica javlja u mnogim fizičkim problemima, nalazimo i Laplaceovu transformaciju za nju:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • U općem slučaju, Laplaceova transformacija derivacije n -tog reda definirana je na sljedeći način (to omogućuje rješavanje diferencijalnih jednadžbi pomoću Laplaceove transformacije):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Dio 3 od 3: Pronalaženje Laplaceove transformacije proširenjem serije

1. 1 Pronađimo Laplaceovu transformaciju za periodičnu funkciju. Periodična funkcija zadovoljava uvjet ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ gdje ${ displaystyle T}$ je razdoblje funkcije, i ${ displaystyle n}$ je pozitivan cijeli broj. Periodične funkcije naširoko se koriste u mnogim aplikacijama, uključujući obradu signala i elektrotehniku. Koristeći jednostavne transformacije, dobivamo sljedeći rezultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { poravnato}}}$
   • Kao što vidite, u slučaju periodične funkcije, dovoljno je izvesti Laplaceovu transformaciju za jedno razdoblje.
2. 2 Izvedite Laplaceovu transformaciju za prirodni logaritam. U tom slučaju integral se ne može izraziti u obliku elementarnih funkcija. Korištenje gama funkcije i njezinog proširenja serije omogućuje vam procjenu prirodnog logaritma i njegovih stupnjeva. Prisutnost Euler-Mascheronijeve konstante ${ displaystyle gama}$ pokazuje da je za procjenu ovog integrala potrebno koristiti proširenje niza.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gama + ln s} {s}}}$
3. 3 Razmotrimo Laplaceovu transformaciju nesnormalizirane sinc funkcije. Funkcija ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac {{sin t} {t}}}$ široko se koristi za obradu signala, u diferencijalnim jednadžbama ekvivalent je sferičnoj Besselovoj funkciji prve vrste i nultog reda ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Laplaceova transformacija ove funkcije također se ne može izračunati standardnim metodama. U tom se slučaju provodi transformacija pojedinih članova niza, koji su funkcije stepena, pa se njihove transformacije nužno konvergiraju na zadanom intervalu.
   • Prvo zapisujemo proširenje funkcije u Taylorov niz:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Sada koristimo već poznatu Laplaceovu transformaciju funkcije moći. Faktori se poništavaju i kao rezultat toga dobivamo Taylorovo proširenje za arktangens, to jest izmjenični niz koji nalikuje Taylorovom nizu za sinus, ali bez faktorijala:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = preplanulost ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {poravnato}}}$