Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 3: Faktoriziranje binoma
• Dio 2 od 3: Faktoriziranje binoma za rješavanje jednadžbi
• 3. dio od 3: Rješavanje složenih problema
• Savjeti
• Upozorenja

Binom (binom) je matematički izraz s dva pojma između kojih postoji znak plus ili minus, na primjer, ${ displaystyle sjekira + b}$... Prvi član uključuje varijablu, a drugi ga uključuje ili ne uključuje. Faktoriziranje binoma uključuje pronalaženje pojmova koji, kada se množe, proizvode izvorni binom kako bi ga riješili ili pojednostavili.

Koraci

1. dio od 3: Faktoriziranje binoma

1. 1 Razumjeti osnove procesa faktoringa. Prilikom faktoriranja binoma iz zagrade se uzima faktor koji je djelitelj svakog člana izvornog binoma. Na primjer, broj 6 je potpuno djeljiv s 1, 2, 3, 6. Dakle, djelitelji broja 6 su brojevi 1, 2, 3, 6.
   • Djelitelji 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Djelitelji bilo kojeg broja su 1 i sam broj. Na primjer, djelitelji 3 su 1 i 3.
   • Cijeli djelitelji mogu biti samo cijeli brojevi. Broj 32 može se podijeliti s 3,564 ili 21,4952, ali ne dobivate cijeli broj, već decimalni razlomak.
2. 2 Naručite uvjete binoma kako biste olakšali proces faktoringa. Binom je zbroj ili razlika dva pojma, od kojih barem jedan sadrži varijablu. Ponekad se varijable podižu na stepen, na primjer, ${ displaystyle x ^ {2}}$ ili ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Bolje je članove binoma poredati uzlaznim redoslijedom eksponenata, odnosno pojam s najmanjim eksponentom ispisuje se prvi, a s najvećim - zadnji. Na primjer:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Uočite znak minus ispred 2. Ako se oduzme pojam, napišite ispred njega znak minus.
3. 3 Pronađi najveći zajednički djelitelj (GCD) oba pojma. GCD je najveći broj kojim su oba člana binoma djeljiva. Da biste to učinili, pronađite djelitelje svakog člana u binomu, a zatim odaberite najveći zajednički djelitelj. Na primjer:
   • Zadatak:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Djelitelji 3: 1, 3
     • Djelitelji 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Svaki član u binomu podijelite najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD). Učinite to kako biste isključili GCD. Imajte na umu da se svaki član binoma smanjuje (jer je djeljiv), ali ako je GCD isključen iz zagrade, konačni izraz bit će jednak izvornom.
   • Zadatak:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Pronađite GCD: 3
   • Podijelite svaki binomski član s gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Pomicanje djelitelja izvan zagrada. Ranije ste podijelili oba člana binoma djeliteljem 3 i dobili ste ${ displaystyle t + 2}$... Ali ne možete se riješiti 3 - kako bi vrijednosti početnog i završnog izraza bile jednake, morate staviti 3 izvan zagrada i upisati izraz dobiven kao rezultat podjele u zagrade. Na primjer:
   • Zadatak:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Pronađite GCD: 3
   • Podijelite svaki binomski član s gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Pomnožite djelitelj dobivenim izrazom:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Odgovor: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Provjeri svoj odgovor. Da biste to učinili, pomnožite pojam ispred zagrada sa svakim izrazom unutar zagrada. Ako dobijete izvorni binom, rješenje je točno. Sada riješite problem ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Naručite članove:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Pronađite GCD:${ displaystyle 6}$
   • Podijelite svaki binomski član s gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Pomnožite djelitelj dobivenim izrazom:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Provjerite odgovor:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Dio 2 od 3: Faktoriziranje binoma za rješavanje jednadžbi

1. 1 Učinite binom na pojednostavljenje i riješite jednadžbu. Na prvi pogled čini se nemogućim riješiti neke jednadžbe (osobito sa složenim binomima). Na primjer, riješite jednadžbu ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... U ovoj jednadžbi postoje moći, pa prvo uzmite u obzir izraz.
   • Zadatak:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Zapamtite da binom ima dva člana. Ako izraz uključuje više pojmova, naučite rješavati polinome.
2. 2 Zbrojite ili oduzmite neki monom na obje strane jednadžbe tako da nula ostane na jednoj strani jednadžbe. U slučaju faktorizacije, rješenje jednadžbi temelji se na nepromjenjivoj činjenici da je svaki izraz pomnožen s nulom jednak nuli. Stoga, ako jednadžbu izjednačimo s nulom, tada bilo koji njezin faktor mora biti jednak nuli. Postavite jednu stranu jednadžbe na 0.
   • Zadatak:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Postavite na nulu:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Dobivenu posudu uvažite u faktor. Učinite to kako je opisano u prethodnom odjeljku. Pronađite najveći zajednički faktor (GCD), podijelite oba člana binoma njime, a zatim pomaknite faktor van zagrada.
   • Zadatak:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Postavite na nulu:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Svaki faktor postavite na nulu. U rezultirajućem izrazu 2y se množi s 4 - y, a taj je proizvod jednak nuli. Budući da je svaki izraz (ili pojam) pomnožen s nulom nula, tada je 2y ili 4 - y 0. Postavite rezultirajući monom i binom na nulu kako biste pronašli "y".
   • Zadatak:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Postavite na nulu:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Oba faktora postavite na 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Riješite dobivene jednadžbe kako biste pronašli konačan odgovor (ili odgovore). Budući da je svaki faktor jednak nuli, jednadžba može imati više rješenja. U našem primjeru:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Provjeri svoj odgovor. Da biste to učinili, zamijenite pronađene vrijednosti u izvornoj jednadžbi. Ako je jednakost istinita, onda je odluka ispravna. Zamijenite pronađene vrijednosti umjesto "y". U našem primjeru, y = 0 i y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Ovo je ispravna odluka
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$I ovo je prava odluka

3. dio od 3: Rješavanje složenih problema

1. 1 Upamtite da se pojam s varijablom također može faktoriti, čak i ako je varijabla podignuta na stepen. Prilikom faktoringa morate pronaći monom koji dijeli svaki član binoma integralno. Na primjer, monom ${ displaystyle x ^ {4}}$ može se faktorizirati ${ displaystyle x * x * x * x}$... To jest, ako i drugi član binoma sadrži varijablu "x", tada se "x" može izvaditi iz zagrada. Dakle, tretirajte varijable kao cijele brojeve. Na primjer:
   • Oba člana binoma ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ sadrže "t", pa se "t" može izvaditi iz zagrade: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Također, varijabla podignuta na stepen može se izvaditi iz zagrade. Na primjer, oba člana binoma ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ sadržavati ${ displaystyle x ^ {2}}$, dakle ${ displaystyle x ^ {2}}$ mogu se izvaditi iz zagrade: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Dodajte ili oduzmite slične pojmove da biste dobili binom. Na primjer, s obzirom na izraz ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Na prvi pogled ovo je polinom, no zapravo se ovaj izraz može pretvoriti u binom. Dodajte slične pojmove: 6 i 14 (ne sadrže varijablu), te 2x i 3x (sadrže istu varijablu "x"). U ovom slučaju, proces faktoringa bit će pojednostavljen:
   • Izvorni izraz:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Naručite članove:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Dodajte slične pojmove:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Pronađite GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Učinite razliku savršenih kvadrata. Savršeni kvadrat je broj čiji je kvadratni korijen cijeli broj, na primjer ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ pa čak i ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Ako je binom razlika savršenih kvadrata, na primjer, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, tada se faktorira po formuli:
   • Formula za razliku kvadrata:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Zadatak:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Izdvojite kvadratne korijene:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Zamijenite pronađene vrijednosti u formuli: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Učinite razliku između potpunih kocki. Ako je binom razlika potpunih kocki, na primjer, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, zatim se faktorizira pomoću posebne formule. U tom je slučaju potrebno izdvojiti korijen kocke iz svakog člana binoma, a pronađene vrijednosti zamijeniti formulom.
   • Formula za razliku između kocki:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Zadatak:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izvadite kubični korijen:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zamijenite pronađene vrijednosti u formuli: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Uzmite u obzir zbroj punih kocki. Za razliku od zbroja savršenih kvadrata, zbroj potpunih kocki, na primjer, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, može se faktorisati pomoću posebne formule. Slično je formuli za razliku među kockama, ali su znakovi obrnuti. Formula je vrlo jednostavna - da biste je upotrijebili, pronađite zbroj punih kockica u problemu.
   • Formula za zbroj kocki:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Zadatak:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izvadite kubični korijen:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zamijenite pronađene vrijednosti u formuli: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Savjeti

• Ponekad binomski članovi nemaju zajednički djelitelj. U nekim zadacima članovi su predstavljeni u pojednostavljenom obliku.
• Ako ne možete odmah pronaći GCD, počnite dijeljenjem s malim brojevima. Na primjer, ako ne vidite da je GCD brojeva 32 i 16 16, podijelite oba broja sa 2. Dobit ćete 16 i 8; ti se brojevi mogu podijeliti s 8. Sada dobivate 2 i 1; ti se brojevi ne mogu smanjiti. Dakle, očito je da postoji veći broj (u usporedbi s 8 i 2), što je zajednički djelitelj dva navedena broja.
• Uočite da su članovi šestog reda (s eksponentom 6, na primjer x) savršeni kvadrati i savršene kocke. Tako se na binome s izrazima šestog reda, na primjer, x - 64, mogu primijeniti (bilo kojim redoslijedom) formule za razliku kvadrata i razliku kockica. No, bolje je prvo primijeniti formulu za razliku kvadrata kako bi se ispravnije razgradilo s binom.

Upozorenja

• Binom, koji je zbir savršenih kvadrata, ne može se faktorizirati.