Sadržaj

• Kročiti
• 1. dio od 3: Shvatite da je "dijeljenje" nemoguće
• Dio 2 od 3: Invertiranje matrice
• Dio 3 od 3: Pomnožite matrice da biste dovršili problem
• Savjeti
• Upozorenja

Ako znate pomnožiti dvije matrice, onda ste na dobrom putu da uspijete "podijeliti" jednu matricu s drugom matricom. Dijeljenje je pod navodnicima jer se matrice tehnički ne mogu dijeliti. Umjesto toga, množimo jednu matricu s inverzan iz druge matrice. Ti se izračuni često koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Kročiti

1. dio od 3: Shvatite da je "dijeljenje" nemoguće

1. Shvatite što je "dijeljenje" matrice. Tehnički ne postoji takva stvar kao što je dijeljenje matrice. Dijeljenje nizova nije definirana funkcija. Najbliže je pomnožiti s inverzom druge matrice. Drugim riječima, iako [A] ÷ [B] nije definiran, možete riješiti problem [A] * [B]. Budući da su ove dvije jednadžbe ekvivalentne skalarima, ovo se "osjeća" poput matrične podjele, ali važno je koristiti ispravnu terminologiju.
   • Imajte na umu da [A] * [B] i [B] * [A] nisu isti problem. Možda ćete morati riješiti oboje kako biste pronašli sve moguće odgovore.
   • Na primjer, umjesto ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Provjerite je li "matrica djelitelja" kvadratna. Da bi se mogla odrediti inverzna matrica, to mora biti kvadratna matrica, dakle s jednakim brojem redaka i stupaca. Ako matrica koju želite inverzirati nije kvadratna matrica, tada ne postoji jedinstveno rješenje problema.
     • Pojam "djeliteljska matrica" ​​donekle je labav, jer zapravo nije podproblem. Za [A] * [B], ovo se odnosi na matricu [B]. U našem primjeru ovo je ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 i 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Provjerite mogu li se dvije matrice pomnožiti zajedno. Da biste mogli umnožiti dvije matrice, broj stupaca u prvoj matrici mora biti jednak broju redaka u drugoj matrici. Ako to ne uspije u oba slučaja ([A] * [B] ili [B] * [A]), problem ne postoji.
       • Na primjer, ako je [A] matrica 4 x 3 (4 retka, 3 stupca), a [B] matrica 2 x 2 (2 retka, 2 stupca), tada nema rješenja. [A] * [B] ne radi jer je 3 ≠ 2, a [B] * [A] ne radi jer je 2 ≠ 4.
       • Znajte da inverzni [B] uvijek ima isti broj redaka i stupaca kao i izvorna matrica [B]. Za dovršetak ovog koraka nije potrebno izračunavati obrnuto.
       • U našem primjeru problema, obje matrice su 2x2, pa se mogu množiti u bilo kojem redoslijedu.
     • Naći odrednicu matrice 2 x 2. Postoji još jedna potrebna provjera prije nego što možete odrediti inverzu matrice. Odrednica matrice ne može biti nula. Ako je odrednica nula, matrica nema inverzne vrijednosti. Evo kako odredite odrednicu u najjednostavnijem slučaju (matrica 2 x 2):
       • 2 x 2 matrica: odrednica matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Naći odrednicu veće matrice. Ako je vaša matrica 3 x 3 ili veća, potrebno je još malo posla kako bi se odredila odrednica:
         • Matrica 3 x 3: Odaberite element i prekrižite redak i stupac kojem pripada. Pronađite odrednicu preostale matrice 2 x 2, pomnožite s odabranim elementom i vodite tablicu znakova matrice za određivanje znaka. Ponovite za druga dva elementa u istom retku i stupcu kao i prvi koji ste odabrali, a zatim dodajte sve tri odrednice. Pročitajte ovaj članak za detaljne upute i savjete kako to učiniti brže.
         • Veće matrice: Preporučuje se upotreba grafičkog kalkulatora ili softvera. Metoda je ista kao i za matricu 3 x 3, ali treba vam puno vremena ako to radite ručno. Na primjer, da biste pronašli odrednicu matrice 4 x 4, prvo morate pronaći odrednice četiri matrice 3 x 3.
       • Nastaviti. Ako vaša matrica nije kvadrat ili joj je odrednica nula, napišite je kao "nije jedinstveno rješenje". Problem je dovršen. Ako je matrica kvadrat i njena odrednica nije nula, nastavite sa sljedećim dijelom za sljedeći korak: određivanje inverzne vrijednosti.

Dio 2 od 3: Invertiranje matrice

1. Zamijenite položaje elemenata glavne dijagonale 2 x 2. Ako imate posla s matricom 2 x 2, možete upotrijebiti prečac kako biste ovaj izračun učinili mnogo lakšim. Prvi korak ovog brzog popravka je zamjena gornjeg lijevog elementa s donjim desnim elementom. Na primjer:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 i 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$Uzmi suprotnost od druga dva elementa, ali ostavi ih u tom položaju. Drugim riječima, pomnožite gornju suditi i dno lijevoelementi s -1:
     • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 i 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$Uzmi recipročnu odrednicu. Odrednicu ove matrice pronašli ste u gornjem odjeljku, pa je nema potrebe za ponovnim izračunavanjem. Samo zapišite recipročnu vrijednost 1 / (odrednica):
       • U našem primjeru odrednica je 13. Uzajamnost ovoga je ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$Pomnožite novu matricu s recipročnom vrijednosti odrednice. Pomnožite svaki element nove matrice s recipročnom koja ste upravo pronašli. Rezultirajuća matrica je inverzna matrici 2 × 2:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$Potvrdite da je inverzna točna. Da biste provjerili svoj rad, pomnožite obrnuto s izvornom matricom. Ako je inverzna vrijednost točna, njihov je proizvod uvijek identitet matrice, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$Pronađite inverziju matrice matrice 3 x 3 ili veće. Ako niste novi u ovom procesu, možete uštedjeti puno vremena pomoću grafičkog kalkulatora ili matematičkog softvera s većim matricama. Ako ga morate izračunati ručno, evo kratkog sažetka jedne metode koju možete koristiti:
           • Dodajte matricu identiteta I na desnu stranu vaše matrice. Na primjer, [B] → [B | I]. Matrica identiteta ima elemente "1" duž glavne dijagonale i "0" elemente u svim ostalim položajima.
           • Uređujte redove kako biste smanjili matricu dok lijeva strana ne bude u obliku ešalona reda i nastavite smanjivati ​​dok lijeva strana ne postane matrica identiteta.
           • Kad se završi cijela operacija, vaša će matrica biti u obliku [I | B]. Drugim riječima, desna strana bit će inverzna izvornoj matrici.

Dio 3 od 3: Pomnožite matrice da biste dovršili problem

1. Zapiši obje moguće jednadžbe. U "uobičajenoj matematici" sa skalarima množenje je komutativno; 2 x 6 = 6 x 2. To se ne odnosi na matrice, pa ćete možda morati riješiti dva problema:
   • [A] * [B] je rješenje x za problem x[B] = [A].
   • [B] * [A] je rješenje x za problem [B]x = [A].
   • Ako je ovo dio jednadžbe, pobrinite se da primijenite istu operaciju na obje strane jednadžbe. Ako je [A] = [C], tada je [B] [A] ne Isto kao i [C] [B], jer je [B] lijevo od [A], ali desno od [C].
2. Odredite dimenzije svog odgovora. Dimenzije konačne matrice vanjske su dimenzije dvaju čimbenika. Ima isti broj redaka kao prva matrica i isti broj stupaca kao druga matrica.
   • Vraćajući se izvornom primjeru: oboje ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$Odredite vrijednost prvog elementa. Detaljne upute potražite u povezanom članku ili osvježite svoje znanje ovim sažetkom:
     • Da biste pronašli redak 1, stupac 1 u [A] [B], pronađite točkasti proizvod u [A] retku 1 i [B] stupcu 1. Dakle, za matricu 2 x 2 izračunate ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Izračunajte točkasti proizvod za svako mjesto u vašoj matrici. Na primjer, element na položaju 2,1 točkasti je umnožak [A] retka 2 i [B] stupca 1. Pokušajte sami razraditi primjer. Trebali biste dobiti sljedeće odgovore:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 kraj {pmatrix}}}$
       • I drugo rješenje: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} kraj {pmatrix}} * { početak {pmatrix} 13 i 26 39 & 13 kraj {pmatrix}} = { početak {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 kraj {pmatrix}}}$

Savjeti

• Možete podijeliti matricu skalarom dijeljenjem svakog elementa matrice skalarom.
  • Na primjer, matrica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 i 8 2 i 4 kraj {pmatrix}}}$ podijeljeno sa 2 = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 i 4 1 i 2 kraj {pmatrix}}}$

Upozorenja

• Kalkulatori nisu uvijek 100% točni u matričnim izračunima. Na primjer, ako vaš kalkulator pokazuje da element ima vrlo malu vrijednost (npr. 2E), vrijednost je vjerojatno nula.