Sadržaj

• Koraci
• 1. dio 2: Osnove
• Dio 2 od 2: Transformacija proširene matrice za rješavanje SLAE -ova
• Savjeti

Sustav jednadžbi je skup dviju ili više jednadžbi koje imaju zajednički skup nepoznanica i, prema tome, zajedničko rješenje. Graf sustava linearnih jednadžbi su dvije ravne linije, a rješenje sustava je točka sjecišta tih ravnih linija. Za rješavanje takvih sustava linearnih jednadžbi korisno je i prikladno koristiti matrice.

Koraci

1. dio 2: Osnove

1. 1 Terminologija. Sustavi linearnih jednadžbi sastavljeni su od različitih komponenti. Varijabla je označena abecednim znakom (obično x ili y) i označava broj koji još ne poznajete i morate pronaći. Konstanta je određeni broj koji ne mijenja svoju vrijednost.Koeficijent je broj ispred varijable, odnosno broj kojim se varijabla množi.
   • Na primjer, za linearnu jednadžbu 2x + 4y = 8, x i y su varijable, 8 je konstanta, a brojevi 2 i 4 koeficijenti.
2. 2 Obrazac za sustav linearnih jednadžbi. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) s dvije varijable može se napisati na sljedeći način: ax + by = p, cx + dy = q. Svaka konstanta (p, q) može biti nula, ali svaka jednadžba mora sadržavati najmanje jednu varijablu (x, y).
3. 3 Matrični izrazi. Bilo koji SLAE može se napisati u matričnom obliku, a zatim ga pomoću algebarskih svojstava matrica riješiti. Prilikom pisanja sustava jednadžbi u matričnom obliku, A predstavlja koeficijente matrice, C predstavlja konstantne matrice, a X označava nepoznatu matricu.
   • Na primjer, gornji SLAE može se prepisati u sljedećem matričnom obliku: A x X = C.
4. 4 Proširena matrica. Proširena matrica dobiva se prijenosom matrice slobodnih članova (konstanti) na lijevu stranu. Ako imate dvije matrice, A i C, tada će proširena matrica izgledati ovako:
   • Na primjer, za sljedeći sustav linearnih jednadžbi:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Proširena matrica bit će 2x3 i izgledat će ovako:

Dio 2 od 2: Transformacija proširene matrice za rješavanje SLAE -ova

1. 1 Elementarne operacije. Možete izvesti određene operacije na matrici, dobivajući tako matricu ekvivalentnu izvornoj. Takve se operacije nazivaju elementarnima. Na primjer, da biste riješili matricu 2x3, morate izvesti operacije retka kako biste matricu doveli u trokutasti oblik. Takve operacije mogu biti:
   • permutacija dviju linija.
   • množenje niza s brojem koji nije nula.
   • množenje niza i njegovo dodavanje u drugi.
2. 2 Množenje drugog retka brojem koji nije nula. Ako želite nulu u drugom retku, možete pomnožiti redak kako biste to omogućili.
   • Na primjer, ako imate ovakvu matricu:
     
     
     Možete zadržati prvi redak i upotrijebiti ga za dobivanje nule u drugom retku. Da biste to učinili, prvo morate pomnožiti drugi redak s 2:
3. 3 Ponovno pomnožite. Da biste dobili nulu za prvi redak, možda ćete morati ponovno pomnožiti pomoću sličnih manipulacija.
   • U gornjem primjeru morate drugi redak pomnožiti s -1:
     
     
     Nakon množenja matrica će izgledati ovako:
4. 4 Dodajte prvi redak drugom. Dodajte retke da biste dobili nulu umjesto prvog stupca i drugog retka.
   • U našem primjeru dodajte oba retka kako biste dobili sljedeće:
5. 5 Napišite novi sustav linearnih jednadžbi za trokutastu matricu. Nakon što dobijete trokutastu matricu, možete se vratiti na SLAE. Prvi stupac matrice odgovara nepoznatoj varijabli x, a drugi nepoznatoj varijabli y. Treći stupac odgovara presjeku jednadžbe.
   • Za naš primjer, novi sustav linearnih jednadžbi poprimit će oblik:
6. 6 Riješite jednadžbu za jednu od varijabli. U novom SLAE -u odredite koju je varijablu najlakše pronaći i riješite jednadžbu.
   • U našem primjeru prikladnije je rješavati od kraja, odnosno od posljednje jednadžbe do prve, krećući se odozdo prema gore. Iz druge jednadžbe možemo lako pronaći rješenje za y, budući da smo se riješili x, pa je y = 2.
7. 7 Pronađite drugu nepoznatu metodom zamjene. Nakon što pronađete jednu od varijabli, možete je uključiti u drugu jednadžbu kako biste pronašli drugu varijablu.
   • U našem primjeru samo zamijenite y s 2 u prvoj jednadžbi kako biste pronašli nepoznati x:

Savjeti

• Elementi matrice obično se nazivaju skalari.
• Da biste riješili matricu 2x3, morate izvesti elementarne operacije retka. Ove operacije ne možete izvesti na stupcima.