Sadržaj

• Koraci
• Savjeti

Racionalna funkcija ima oblik y = N (x) / D (x), gdje su N i D polinomi. Za točno iscrtavanje takve funkcije potrebno vam je dobro poznavanje algebre, uključujući diferencijalne izračune. Razmotrimo sljedeći primjer: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Koraci

1. 1 Pronađite presjek y grafikona. Da biste to učinili, zamijenite x = 0 u funkciji i dobijte y = 5/2. Dakle, sjecište grafa s osi Y ima koordinate (0, 5/2).Postavite ovu točku na koordinatnu ravninu.
2. 2 Pronađite vodoravne asimptote. Podijelite brojnik nazivnikom (u stupcu) kako biste utvrdili ponašanje "y" s vrijednostima "x" koje teže beskonačnosti. U našem primjeru podjela će biti y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Za velike pozitivne ili negativne vrijednosti "x" 17 / (8x + 4) teži nuli, a grafikon se približava pravoj liniji zadanoj funkcijom y = (1/2)x - (7/4). Pomoću isprekidane linije iscrtajte ovu funkciju.
   • Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, tada ne možete podijeliti brojnik s nazivnikom, a asimptota će biti opisana funkcijom na = 0.
   • Ako je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, tada je asimptota vodoravna crta jednaka omjeru koeficijenata pri "x" u najvišem stupnju.
   • Ako je stupanj brojnika za 1 veći od stupnja nazivnika, tada je asimptota nagnuta ravna linija, čiji je nagib jednak omjeru koeficijenata pri "x" prema najvišem stupnju.
   • Ako je stupanj brojnika veći od stupnja nazivnika za 2, 3 itd., Tada za velike vrijednosti |NS| značenje na imaju tendenciju prema beskonačnosti (pozitivnom ili negativnom) u obliku kvadrata, kubika ili drugog stupnja polinoma. U ovom slučaju, najvjerojatnije, ne morate graditi točan graf funkcije dobivene dijeljenjem brojnika s nazivnikom.
3. 3 Pronađi nule funkcije. Racionalna funkcija ima nule kada je njen brojnik nula, to jest N (NS) = 0. U našem primjeru 2x - 6x + 5 = 0. Diskriminator ove kvadratne jednadžbe: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Budući da je diskriminator negativan, tada je N (NS), pa stoga F (NS) nema pravih korijena. Graf racionalne funkcije ne siječe os X. Ako funkcija ima nule (korijene), onda ih postavite na koordinatnu ravninu.
4. 4 Pronađite okomite asimptote. Da biste to učinili, nazivnik postavite na nulu. U našem primjeru, 4x + 2 = 0 i NS = -1/2. Iscrtajte okomitu asimptotu pomoću isprekidane linije. Ako za neku vrijednost NS N (NS) = 0 i D (NS) = 0, tada okomita asimptota ili postoji ili ne postoji (ovo je rijedak slučaj, ali bolje ga je zapamtiti).
5. 5 Pogledajte ostatak brojnika podijeljen s nazivnikom. Je li pozitivno, negativno ili nula? U našem primjeru ostatak je 17, što je pozitivno. Nazivnik 4x + 2 pozitivna s desne strane okomite asimptote i negativna s lijeve strane. To znači da graf racionalne funkcije za velike pozitivne vrijednosti NS prilazi asimptoti odozgo, a za velike negativne vrijednosti NS - Od ispod. Od 17 / (8x + 4) nikada nije jednaka nuli, tada graf ove funkcije nikada neće presijecati ravnu liniju koju određuje funkcija na = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Pronađite lokalne ekstreme. Lokalni ekstrem postoji za N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0. U našem primjeru, N ’(x) = 4x - 6 i D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D ’(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Rješavajući ovu jednadžbu, nalazite da x = 3/2 i x = -5/2. (Ovo nisu sasvim točne vrijednosti, ali su prikladne za naš slučaj kada nije potrebna superpreciznost.)
7. 7 Pronađite vrijednost na za svaki lokalni ekstrem. Da biste to učinili, zamijenite vrijednosti NS u izvornu racionalnu funkciju. U našem primjeru, f (3/2) = 1/16 i f (-5/2) = -65/16. Odložite točke (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16) na koordinatnoj ravnini. Budući da se izračuni temelje na približnim vrijednostima (iz prethodnog koraka), pronađeni minimum i maksimum također nisu u potpunosti točni (ali vjerojatno vrlo blizu točnim vrijednostima). (Točka (3/2, 1/16) vrlo je blizu lokalnog minimuma. Počevši od koraka 3, znamo da na uvijek pozitivan za NS> -1/2, a pronašli smo malu vrijednost (1/16); stoga je vrijednost pogreške u ovom slučaju iznimno mala.)
8. 8 Spojite točke na čekanju i glatko proširite graf na asimptote (ne zaboravite na točan smjer grafa koji se približava asimptotama). Zapamtite da graf ne smije prelaziti os X (vidi korak 3). Grafikon se također ne siječe s vodoravnom i okomitom asimptotom (vidi korak 5). Nemojte mijenjati smjer grafikona osim na ekstremnim točkama nađenim u prethodnom koraku.

Savjeti

• Ako ste gornje korake slijedili strogo redom, nema potrebe za izračunavanjem drugih derivata (ili sličnih složenih veličina) za testiranje vaše otopine.
• Ako ne trebate izračunavati vrijednosti količina, pronalaženje lokalnih ekstrema možete zamijeniti izračunavanjem dodatnih parova koordinata (NS, na) između svakog para asimptota. Štoviše, ako vas nije briga kako opisana metoda radi, nemojte se iznenaditi zašto ne možete pronaći izvedenicu i riješiti jednadžbu N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0.
• U nekim ćete slučajevima morati raditi s polinomima višeg reda. Ako ne možete pronaći točno rješenje pomoću faktorizacije, formula itd., Tada procijenite moguća rješenja pomoću numeričkih metoda kao što je Newtonova metoda.
• U rijetkim slučajevima brojnik i nazivnik dijele zajednički varijabilni faktor. Prema opisanim koracima, to će dovesti do nule i okomite asimptote na istom mjestu. Međutim, to nije moguće, a objašnjenje je jedno od sljedećeg:
  • Nula u N (NS) ima veću množinu od nule u D (NS). Grafikon F (NS) u ovom trenutku teži nuli, ali tamo nije definirano. Označite to povlačenjem kruga oko točke.
  • Nula u N (NS) i nula u D (NS) imaju istu mnogostrukost. Grafikon se pri ovoj vrijednosti približava ne-nultoj točki NSali u njemu nije definirano. Označite to povlačenjem kruga oko točke.
  • Nula u N (NS) ima manju množinu od nule u D (NS). Ovdje postoji okomita asimptota.