Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 4: Monom u nazivniku
• Metoda 2 od 4: Binom u nazivniku
• Metoda 3 od 4: Obrnuto izražavanje
• Metoda 4 od 4: Imenik kubičnog korijena

U matematici nije uobičajeno ostavljati korijen ili iracionalan broj u nazivniku razlomka. Ako je nazivnik korijen, pomnožite razlomak s nekim izrazom ili izrazom kako biste se riješili korijena. Suvremeni kalkulatori omogućuju vam rad s korijenima u nazivniku, ali obrazovni program zahtijeva da se učenici mogu riješiti iracionalnosti u nazivniku.

Koraci

Metoda 1 od 4: Monom u nazivniku

1. 1 Naučite razlomak. Razlomci su ispravno napisani ako u nazivniku nema korijena. Ako nazivnik ima kvadrat ili bilo koji drugi korijen, morate pomnožiti brojnik i nazivnik s nekim monomom kako biste se riješili korijena. Imajte na umu da brojnik može sadržavati korijen - to je normalno.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Nazivnik ovdje ima korijen ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Pomnožite brojnik i nazivnik s korijenom nazivnika. Ako nazivnik sadrži monom, vrlo je lako racionalizirati takav razlomak. Pomnožite brojnik i nazivnik istim monomom (to jest, množite razlomak s 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Ako unosite izraz za rješenje u kalkulator, svakako stavite zagrade oko svakog dijela kako biste ih odvojili.
3. 3 Pojednostavite razlomak (ako je moguće). U našem primjeru može se skratiti dijeljenjem brojnika i nazivnika sa 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { razlomak {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac {{sqrt {21}} {2}}}$

Metoda 2 od 4: Binom u nazivniku

1. 1 Naučite razlomak. Ako njegov nazivnik sadrži zbroj ili razliku dvaju monoma, od kojih jedan sadrži korijen, nemoguće je razlomak razmnožiti takvim binom kako bi se riješili iracionalnosti.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Da biste to razumjeli, zapišite razlomak ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$gdje je monomski ${ displaystyle a}$ ili ${ displaystyle b}$ sadrži korijen. U ovom slučaju: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Dakle, monomski ${ displaystyle 2ab}$ i dalje će uključivati ​​korijen (ako ${ displaystyle a}$ ili ${ displaystyle b}$ sadrži korijen).
   • Pogledajmo naš primjer.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Vidite da se ne možete riješiti monoma u nazivniku ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Pomnožite brojnik i nazivnik binomskom konjugatom binoma u nazivniku. Konjugirani binom je binom s istim monomom, ali s suprotnim predznakom između njih. Na primjer, binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ konjugiran na binom ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Shvatite značenje ove metode. Razmotrimo ponovno razlomak ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Pomnožite brojnik i nazivnik binomskim konjugatom na binom u nazivniku: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Dakle, nema monoma koji sadrže korijene. Budući da su monomi ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ su na kvadrat, korijeni će biti eliminirani.
3. 3 Pojednostavite razlomak (ako je moguće). Ako postoji zajednički faktor i u brojniku i u nazivniku, poništite ga. U našem slučaju 4 - 2 = 2, što se može koristiti za smanjenje ulomka.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metoda 3 od 4: Obrnuto izražavanje

1. 1 Ispitajte problem. Ako trebate pronaći izraz koji je inverzan zadanom, koji sadrži korijen, morat ćete racionalizirati rezultirajući razlomak (pa ga tek onda pojednostaviti). U tom slučaju upotrijebite metodu opisanu u prvom ili drugom odjeljku (ovisno o zadatku).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Zapišite suprotni izraz. Da biste to učinili, podijelite 1 s datim izrazom; ako im se daje razlomak, zamijenite brojnik i nazivnik. Upamtite da je svaki izraz razlomak s 1 u nazivniku.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Pomnožite brojnik i nazivnik nekim izrazom kako biste se riješili korijena. Množenjem brojnika i nazivnika istim izrazom množite razlomak s 1, odnosno vrijednost razlomka se ne mijenja. U našem primjeru dan nam je binom pa pomnožite brojnik i nazivnik s konjugiranim binom.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Pojednostavite razlomak (ako je moguće). U našem primjeru 4 - 3 = 1, pa se izraz u nazivniku razlomka može u potpunosti poništiti.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Odgovor je binom konjugiran s ovim binom. To je samo slučajnost.

Metoda 4 od 4: Imenik kubičnog korijena

1. 1 Naučite razlomak. Problem može sadržavati korijene kocke, iako je to prilično rijetko. Opisana metoda primjenjiva je na korijene bilo kojeg stupnja.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Prepišite korijen kao moć. Ovdje ne možete pomnožiti brojnik i nazivnik nekim monomom ili izrazom, jer se racionalizacija provodi na malo drugačiji način.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s nekim stepenom tako da eksponent u nazivniku postane 1. U našem primjeru razlomke pomnožite sa ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Upamtite da se, kad se stupnjevi pomnože, njihovi pokazatelji zbrajaju: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Ova se metoda primjenjuje na sve korijene stupnja n. Ako je dan razlomak ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, pomnožite brojnik i nazivnik sa ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Dakle, eksponent u nazivniku postaje 1.
4. 4 Pojednostavite razlomak (ako je moguće).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Ako je potrebno, u odgovor zapišite korijen. U našem primjeru, eksponent faktorirajte na dva čimbenika: ${ displaystyle 1/3}$ i ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$