Sadržaj

• Kročiti
• Metoda 1 od 3: Uporaba metode supstitucije
• Metoda 2 od 3: Uporaba metode eliminacije
• Metoda 3 od 3: Grafički prikažite jednadžbe
• Savjeti
• Upozorenja

U "sustavu jednadžbi" od vas se traži da istovremeno riješite dvije ili više jednadžbi. Kad ove dvije sadrže različite varijable, poput x i y, ili a i b, na prvi pogled može biti teško vidjeti kako ih riješiti. Srećom, kad jednom znate što trebate, za rješavanje problema trebaju vam samo neke osnovne matematičke vještine (a ponekad i malo razlomka). Ako je potrebno ili ako ste vizualni student, naučite i grafički prikazati jednadžbe. Grafiranje (crtanje) grafa može biti korisno za "vidjeti što se događa" ili za provjeru vašeg rada, ali također može biti sporije od ostalih metoda i ne radi sa svim sustavima jednadžbi.

Kročiti

Metoda 1 od 3: Uporaba metode supstitucije

1. Pomaknite varijable na različite strane jednadžbe. Ova metoda "supstitucije" započinje "rješavanjem x" (ili bilo koje druge varijable) u jednoj od jednadžbi. Na primjer, imamo sljedeće jednadžbe: 4x + 2y = 8 i 5x + 3x = 9. Prije svega, gledamo prvu usporedbu. Preuredite se oduzimajući 2y sa svake strane i dobit ćete: 4x = 8-2g.
   • Ova metoda često koristi razlomke u kasnijoj fazi. Također možete koristiti donju metodu eliminacije ako ne želite raditi s razlomcima.
2. Podijelite obje strane jednadžbe da biste riješili "x". Nakon što na jednoj strani jednadžbe imate pojam x (ili bilo koju varijablu koju koristite), podijelite obje strane jednadžbe kako biste izolirali varijablu. Na primjer:
   • 4x = 8-2g
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2g / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Priključite ovo natrag u drugu jednadžbu. Obavezno se vratite na Drugi usporedba, ne ona koju ste već koristili. U toj jednadžbi zamjenjujete varijablu koju ste riješili, a ostaje samo jedna varijabla. Na primjer:
   • Sad to znate: x = 2 - ½y.
   • Druga jednadžba, koju još niste promijenili, jest: 5x + 3x = 9.
   • U drugoj jednadžbi zamijenite x s "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Riješi za preostalu varijablu. Sada imate jednadžbu sa samo jednom varijablom. Koristite uobičajene tehnike algebre da biste riješili tu varijablu. Ako se varijable međusobno poništavaju, preskočite na zadnji korak. U suprotnom, na kraju ćete dobiti odgovor na jednu od svojih varijabli:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ako ne razumijete ovaj korak, naučite dodavati razlomke. Ovo je često, ali ne uvijek, potrebno s ovom metodom).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Pomoću odgovora riješite drugu varijablu. Nemojte pogriješiti što ste problem završili na pola puta. Odgovor koji ste dobili morat ćete ponovo unijeti u jednu od izvornih jednadžbi kako biste mogli riješiti drugu varijablu:
   • Sad to znate: y = -2
   • Jedna od izvornih jednadžbi je: 4x + 2y = 8. (Za ovaj se korak mogu koristiti obje jednadžbe).
   • Priključite -2 umjesto y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Znajte što učiniti ako se obje varijable međusobno poništavaju. Kada ti x = 3y + 2 ili dobijete sličan odgovor u drugoj jednadžbi, pokušavate dobiti jednadžbu sa samo jednom varijablom. Ponekad umjesto toga na kraju dobijete jednadžbu bez varijable. Još jednom provjerite svoj rad i zamijenite (preuređenu) prvu jednadžbu drugom, a ne prvom jednadžbom. Ako ste sigurni da niste pogriješili, dobit ćete jedan od sljedećih rezultata:
   • Ako završite s jednadžbom bez varijabli i koja nije istinita (npr. 3 = 5), tada imate problem nikakvo rješenje. (Ako ste grafirali jednadžbe, vidjet ćete da su paralelne i da se nikada ne sijeku).
   • Ako na kraju dobijete jednadžbu bez varijabli, ali one dobro je istina (na primjer, 3 = 3), onda ima problema beskonačan broj rješenja. Dvije su jednadžbe potpuno jednake. (Ako grafički prikažete dvije jednadžbe, vidjet ćete da se one točno preklapaju).

Metoda 2 od 3: Uporaba metode eliminacije

1. Određuje varijablu koju treba eliminirati. Ponekad će se jednadžbe međusobno "eliminirati" u varijabli čim ih zbrojite. Na primjer, kada radite jednadžbe 3x + 2y = 11 i 5x - 2g = 13 kombinacije, "+ 2y" i "-2y" međusobno će se poništiti, sa svim "ys eliminirani su iz jednadžbe. Pogledajte jednadžbe u svom problemu kako biste saznali hoće li bilo koja od varijabli biti eliminirana na ovaj način. Ako nijedna varijabla nije eliminirana, pročitajte sljedeći korak za savjet.
2. Pomnožite jednadžbu da poništite varijablu. (Preskočite ovaj korak ako su se varijable već međusobno eliminirale). Ako se niti jedna varijabla u jednadžbama ne poništi sama od sebe, tada morate promijeniti jednu od jednadžbi tako da to učini. To je najlakše razumjeti na primjeru:
   • Pretpostavimo da imate sustav jednadžbi 3x - y = 3 i -x + 2y = 4.
   • Promijenimo prvu jednadžbu tako da varijabla bude g eliminira se. (To možete učiniti i za x učiniti i dobiti isti odgovor).
   • The - y " prve jednadžbe treba eliminirati s + 2 g U drugoj jednadžbi. To možemo učiniti do - g pomnoži s 2.
   • Pomnožimo obje strane prve jednadžbe s 2, kako slijedi: 2 (3x - y) = 2 (3), i na taj način 6x - 2y = 6. Sad hoće - 2 godine otpasti protiv + 2 g u drugoj jednadžbi.
3. Kombinirajte dvije jednadžbe. Da biste mogli kombinirati dvije jednadžbe, dodajte lijevu i desnu stranicu zajedno. Ako ste pravilno napisali jednadžbu, jedna bi se varijabla trebala poništiti u odnosu na drugu. Evo primjera koji koristi iste jednadžbe kao i posljednji korak:
   • Vaše jednadžbe su: 6x - 2y = 6 i -x + 2y = 4.
   • Kombinirajte lijeve strane: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Kombinirajte desne strane: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Riješi za zadnju varijablu. Pojednostavite kombiniranu jednadžbu, a zatim pomoću osnovne algebre riješite zadnju varijablu. Ako nakon pojednostavljenja ne postoje varijable, nastavite do zadnjeg koraka u ovom odjeljku. U suprotnom, trebali biste završiti jednostavnim odgovorom na jednu od svojih varijabli. Na primjer:
   • Imaš: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Grupirajte varijable x i g jedno s drugim: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Pojednostaviti: 5x = 10
   • Riješi za x: (5x) / 5 = 10/5, tako da x = 2.
5. Riješi za ostale varijable. Pronašli ste jednu varijablu, ali još niste sasvim gotovi. Zamijenite svoj odgovor u jednoj od izvornih jednadžbi tako da možete riješiti drugu varijablu. Na primjer:
   • Ti to znaš x = 2, i to jedna od vaših izvornih jednadžbi 3x - y = 3 je.
   • Uključite 2, umjesto x: 3 (2) - y = 3.
   • Riješite y u jednadžbi: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, tako 6 = 3 + god
   • 3 = god
6. Znajte što učiniti kada se obje varijable međusobno poništavaju. Ponekad kombiniranje dviju jednadžbi rezultira jednadžbom koja nema značenje ili vam ne pomaže riješiti problem. Još jednom provjerite svoj rad od početka, ali ako niste pogriješili, zapišite jedan od sljedećih odgovora:
   • Ako vaša kombinirana jednadžba nema varijabli i nije istinita (poput 2 = 7), onda postoji nikakvo rješenje što vrijedi za obje jednadžbe. (Ako grafički prikažete obje jednadžbe, vidjet ćete da su paralelne i da se nikada ne sijeku).
   • Ako vaša kombinirana jednadžba nema varijabli i istinita je (kao što je 0 = 0), onda postoje beskonačan broj rješenja. Dvije su jednadžbe zapravo identične. (Ako ih smjestite u grafikon, vidjet ćete da se potpuno preklapaju).

Metoda 3 od 3: Grafički prikažite jednadžbe

1. Ovu metodu koristite samo kada je navedena. Ako ne koristite računalo ili grafički kalkulator, mnogi se sustavi jednadžbi mogu približno riješiti samo ovom metodom. Vaš učitelj ili udžbenik matematike može tražiti da koristite ovu metodu, tako da ste vjerojatno upoznati s grafičkim jednadžbama kao što su crte. Ovom metodom također možete provjeriti jesu li vaši odgovori na bilo koji drugi način točni.
   • Osnovna ideja je da grafički prikažete obje jednadžbe i odredite točku na kojoj se sijeku. Vrijednosti x i y u ovom trenutku daju vrijednost x i vrijednost y u sustavu jednadžbi.
2. Riješite obje jednadžbe za y. Držite dvije jednadžbe odvojeno i upotrijebite algebru za pretvaranje svake jednadžbe u oblik "y = __x + __". Na primjer:
   • Prva jednadžba je: 2x + y = 5. Promijenite ovo u: y = -2x + 5.
   • Druga jednadžba je: -3x + 6y = 0. Promijenite ovo u 6y = 3x + 0i pojednostaviti na y = ½x + 0.
   • Jesu li obje jednadžbe identične, tada cijela crta postaje "presječna točka". Pisati: beskonačna rješenja.
3. Nacrtaj koordinatni sustav. Nacrtajte vertikalnu "os y" i vodoravnu "os x" na listu milimetrskog papira. Počnite od točke gdje se crte sijeku i označite brojeve 1, 2, 3, 4 itd. Prema osi y i opet desno po osi x. Označite brojeve -1, -2 itd. Duž y osi prema dolje i lijevo duž x osi.
   • Ako nemate milimetarski papir, upotrijebite ravnalo kako biste osigurali ravnomjerni razmak brojeva.
   • Ako upotrebljavate velike brojeve ili decimalna mjesta, možda ćete trebati prilagoditi grafikon. (Na primjer 10, 20, 30 ili 0,1, 0,2, 0,3 umjesto 1, 2, 3).
4. Nacrtajte y presjek za svaku liniju. Jednom kad dobijete jednadžbu u obliku y = __x + __ možete ga započeti grafičkim postavljanjem točke u kojoj crta presijeca os y. To uvijek ima vrijednost y, jednako zadnjem broju u ovoj jednadžbi.
   • U prethodno spomenutim primjerima jedan redak (y = -2x + 5) u os y 5. Drugi redak (y = ½x + 0) prolazi kroz nultu točku 0. (To su točke (0,5) i (0,0) na grafikonu).
   • Označite svaku liniju različitom bojom, ako je moguće.
5. Koristite nagib za nastavak crtanja linija. U obliku y = __x + __, je broj za x th nagib izvan linije. Svaki put kad se x poveća za jedan, vrijednost y će se povećavati s vrijednošću nagiba. Koristite ove podatke za pronalaženje točke na grafikonu za svaki redak kada je x = 1. (Alternativno, zamijenite x = 1 za svaku jednadžbu i riješite za y).
   • U našem primjeru linija ima y = -2x + 5 padina od -2. Pri x = 1 linija 2 se spušta dolje od točke x = 0. Nacrtaj odsječak crte između (0,5) i (1,3).
   • Pravilo y = ½x + 0ima nagib od ½. Pri x = 1 linija ide ½ gore iz točke x = 0. Nacrtaj odsječak crte između (0,0) i (1, ½).
   • Kad linije imaju isti nagib pravci se nikada neće presijecati, tako da nema rješenja za sustav jednadžbi. Pisati: nikakvo rješenje.
6. Nastavite crtati linije dok se ne presijeku. Zaustavite se i pogledajte svoj grafikon. Ako su se linije već prekrižile, prijeđite na sljedeći korak. Inače, odluku donosite na temelju onoga što linije rade:
   • Kako se linije pomiču jedna prema drugoj, nastavljate crtati točke u tom smjeru.
   • Ako se linije odmiču jedna od druge, vratite se i povucite točke u drugom smjeru, počevši od x = -1.
   • Ako se linije nisu blizu jedna drugoj, skočite naprijed i zacrtajte daljnje točke, kao što je x = 10.
7. Odgovor pronađite na presjeku linija. Jednom kad se dvije crte presijeku, vrijednosti x i y u toj su točki rješenje problema. Ako imate sreće, odgovor će biti cijeli broj. Na primjer, u našim se primjerima dvije crte sijeku (2,1) takav je i vaš odgovor x = 2 i y = 1. U nekim će se sustavima jednadžbi crte presijecati na vrijednosti između dvije cijele brojke, a ako vaš graf nije izuzetno točan, bit će teško reći gdje je to. Ako je to slučaj, možete dati odgovor poput: "x je između 1 i 2". Također možete koristiti zamjensku metodu ili metodu eliminacije da biste pronašli točan odgovor.

Savjeti

• Svoj rad možete provjeriti unošenjem odgovora natrag u izvorne jednadžbe. Ako su jednadžbe istinite (na primjer, 3 = 3), tada je vaš odgovor točan.
• U eliminacijskoj metodi ponekad morate pomnožiti jednadžbu s negativnim brojem da biste eliminirali varijablu.

Upozorenja

• Ove se metode ne mogu koristiti ako imate posla s brojem napajanja, kao što je x. Da biste saznali više o jednadžbama ove vrste, trebat će vam vodič za kvadratni faktor s dvije varijable.