Sadržaj

• Kročiti

Trigonometrijska jednadžba je jednadžba s jednom ili više trigonometrijskih funkcija varijabilne trigonometrijske krivulje x. Rješavanje za x znači pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih krivulja čije trigonometrijske funkcije uzrokuju istinitost trigonometrijske jednadžbe.

• Odgovori ili vrijednosti krivulja otopine izraženi su u stupnjevima ili radijanima. Primjeri:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 stupnjeva; x = 37,12 stupnjeva; x = 178,37 stupnjeva

• Napomena: Na jediničnoj kružnici, trigonometrijske funkcije bilo koje krivulje jednake su trigonometrijskim funkcijama odgovarajućeg kuta. Jedinica kruga definira sve trigonometrijske funkcije promjenjive krivulje x. Također se koristi kao dokaz u rješavanju osnovnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti.
• Primjeri trigonometrijskih jednadžbi:
  • grijeh x + grijeh 2x = 1/2; preplanuli x + dječji krevetić x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Jedinstveni krug.
   • Ovo je kružnica s polumjerom = 1, gdje je O ishodište. Jedinica kruga definira 4 glavne trigonometrijske funkcije varijabilne krivulje x, koja je zaokružuje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
   • Kada krivulja s vrijednošću x varira na jediničnoj kružnici, tada vrijedi:
   • Horizontalna os OAx definira trigonometrijsku funkciju f (x) = cos x.
   • Okomita os OBy definira trigonometrijsku funkciju f (x) = sin x.
   • Okomita os AT definira trigonometrijsku funkciju f (x) = tan x.
   • Horizontalna os BU definira trigonometrijsku funkciju f (x) = cot x.

• Jedinica kruga također se koristi za rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi i standardnih trigonometrijskih nejednakosti uzimajući u obzir različite položaje krivulje x na kružnici.

Kročiti

1. Razumijevanje metode rješenja.
   • Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi u konačnici rezultira rješavanjem 4 osnovne trigonometrijske jednadžbe.
2. Znati riješiti osnovne trigonometrijske jednadžbe.
   • Postoje 4 osnovne trigonometrijske jednadžbe:
   • grijeh x = a; cos x = a
   • tan x = a; dječji krevetić x = a
   • Osnovne trigonometrijske jednadžbe možete riješiti proučavanjem različitih položaja krivulje x na trigonometrijskoj kružnici i pomoću trigonometrijske tablice pretvorbe (ili kalkulatora). Da biste u potpunosti razumjeli kako riješiti ove i slične osnovne trigonometrijske jednadžbe, pročitajte sljedeću knjigu: "Trigonometrija: Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti" (Amazon E-knjiga 2010).
   • Primjer 1. Riješiti za grijeh x = 0,866. Tablica pretvorbe (ili kalkulator) daje odgovor: x = Pi / 3. Trigonometrijska kružnica daje drugu krivulju (2Pi / 3) s istom vrijednošću za sinus (0.866). Trigonometrijski krug također pruža beskonačnost odgovora koji se nazivaju prošireni odgovori.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi i x2 = 2Pi / 3. (Odgovori u roku (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi i x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detaljni odgovori).
   • Primjer 2. Riješi: cos x = -1/2. Kalkulatori daju x = 2 Pi / 3. Trigonometrijska kružnica također daje x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi i x2 = - 2Pi / 3. (Odgovori za razdoblje (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi i x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Prošireni odgovori)
   • Primjer 3. Riješi: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Odgovor)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Prošireni odgovor)
   • Primjer 4. Riješi: dječji krevetić 2x = 1.732. Kalkulatori i trigonometrijska kružnica daju:
   • x = Pi / 12; (Odgovor)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Prošireni odgovori)
3. Naučiti transformacije korištene u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi.
   • Za pretvorbu zadane trigonometrijske jednadžbe u standardne trigonometrijske jednadžbe koristite standardne algebarske pretvorbe (faktorizacija, zajednički faktor, polinomi ...), definicije i svojstva trigonometrijskih funkcija i trigonometrijskih identiteta. Postoji oko 31, od kojih su 14 trigonometrijski identiteti, od 19 do 31, koji se nazivaju i transformacijskim identitetima, jer se koriste u pretvorbi trigonometrijskih jednadžbi. Pogledajte gornju knjigu.
   • Primjer 5: Trigonometrijska jednadžba: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 može se pretvoriti u umnožak osnovnih trigonometrijskih jednadžbi pomoću trigonometrijskih identiteta: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Osnovne trigonometrijske jednadžbe za rješavanje su: cos x = 0; grijeh (3x / 2) = 0; i cos (x / 2) = 0.
4. Pronađite krivulje za koje su poznate trigonometrijske funkcije.
   • Prije nego što naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate znati kako brzo pronaći krivulje za koje su poznate trigonometrijske funkcije. Vrijednosti pretvorbe krivulja (ili kutova) mogu se odrediti pomoću trigonometrijskih tablica ili kalkulatora.
   • Primjer: Riješiti za cos x = 0,732. Kalkulator daje rješenje x = 42,95 stupnjeva. Jedinica kruga daje ostale krivulje s istom vrijednošću za kosinus.
5. Nacrtajte luk odgovora na jediničnoj kružnici.
   • Možete stvoriti grafikon za ilustraciju rješenja na jediničnom krugu. Krajnje točke ovih krivulja pravilni su poligoni na trigonometrijskoj kružnici. Neki primjeri:
   • Krajnje točke krivulje x = Pi / 3 + k. Pi / 2 je kvadrat na jediničnoj kružnici.
   • Krivulje x = Pi / 4 + k.Pi / 3 predstavljene su koordinatama šesterokuta na jediničnoj kružnici.
6. Naučite kako rješavati trigonometrijske jednadžbe.
   • Ako zadana trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite je kao standardnu ​​trigonometrijsku jednadžbu. Ako zadana jednadžba sadrži dvije ili više trigonometrijskih funkcija, postoje 2 metode rješenja, ovisno o mogućnostima pretvaranja jednadžbe.
     • A. Metoda 1.
   • Pretvorite trigonometrijsku jednadžbu u umnožak oblika: f (x) .g (x) = 0 ili f (x) .g (x) .h (x) = 0, gdje je f (x), g (x) i h (x) su osnovne trigonometrijske jednadžbe.
   • Primjer 6. Riješi: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Riješenje. Zamijenite sin 2x u jednadžbi koristeći identitet: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Zatim riješite 2 standardne trigonometrijske funkcije: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
   • Primjer 7. Riješi: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Rješenje: Pretvorite ovo u proizvod pomoću trigonometrijskih identiteta: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
   • Primjer 8. Riješi: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Rješenje: Pretvorite ovo u proizvod pomoću trigonometrijskih identiteta: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
     • B. Pristup 2.
   • Pretvara trig jednadžbu u trig jednadžbu sa samo jednom jedinstvenom trig funkcijom kao varijablom. Postoji nekoliko savjeta kako odabrati prikladnu varijablu. Uobičajene varijable su: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t i tan (x / 2) = t.
   • Primjer 9. Riješi: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Riješenje. U jednadžbi zamijenite (cos ^ 2x) s (1 - sin ^ 2x) i pojednostavite jednadžbu:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sada upotrijebite sin x = t. Jednadžba postaje: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba s 2 korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi t2 možemo odbiti, jer je> 1. Sada riješi za: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Primjer 10. Riješi: tan x + 2 tan ^ 2 x = dječji krevet x + 2.
   • Riješenje. Upotrijebite tan x = t. Pretvorite zadanu jednadžbu u jednadžbu s t kao varijablom: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Riješite t iz ovog proizvoda, a zatim riješite standardnu ​​trigonometrijsku jednadžbu tan x = t za x.
7. Riješiti posebne trigonometrijske jednadžbe.
   • Postoji nekoliko posebnih trigonometrijskih jednadžbi koje zahtijevaju određene pretvorbe. Primjeri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Naučiti periodična svojstva trigonometrijskih funkcija.
   • Sve su trigonometrijske funkcije periodične, što znači da se vraćaju na iste vrijednosti nakon rotacije tijekom razdoblja. Primjeri:
     • Funkcija f (x) = sin x ima točku 2Pi.
     • Funkcija f (x) = tan x ima Pi kao razdoblje.
     • Funkcija f (x) = sin 2x ima Pi kao period.
     • Funkcija f (x) = cos (x / 2) ima 4Pi kao razdoblje.
   • Ako je period naveden u vježbama / testu, tada samo trebate pronaći krivulju (x) x unutar tog razdoblja.
   • NAPOMENA: Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je lukavo i često dovodi do pogrešaka i pogrešaka. Stoga odgovore treba pažljivo provjeriti. Nakon rješavanja, odgovore možete provjeriti pomoću grafičkog kalkulatora, za izravan prikaz dane trigonometrijske jednadžbe R (x) = 0. Odgovori (kao kvadratni korijen) dati su u decimalnim mjestima. Kao primjer, Pi ima vrijednost 3,14