Sadržaj

• Kročiti
• Savjeti

Kao graf vidi kvadratnu jednadžbu sjekira + bx + c , koji je također zapisan kao a (x - h) + k, izgledaju poput glatke krivulje u obliku slova U. Mi zovemo ovu parabola. Grafikovanje kvadratne jednadžbe uključuje pronalaženje tjemena, smjera i često sjecišta s osi x i osi y. U slučaju relativno jednostavne kvadratne jednadžbe, također može biti dovoljno unijeti brojne vrijednosti za x da označe te točke u koordinatnom sustavu, nakon čega se može povući parabola. Za početak nastavite s korakom 1.

Kročiti

1. Utvrdite kakvu jednadžbu drugog stupnja imate. Može se zapisati na dva načina: standardni zapis i zapis vrha (drugi način pisanja formule kvadratnog korijena). Obje možete koristiti za izradu grafa kvadratne jednadžbe, ali postupak se u svakom slučaju malo razlikuje. Većinu vremena susrećete se sa standardnim oblikom, ali zasigurno ne škodi naučiti koristiti oba oblika. Dva su oblika kvadratne jednadžbe:
   • Standardni oblik. Kvadratna jednadžba bilježi se kao: f (x) = ax + bx + c gdje su a, b i c stvarni brojevi, a a nije jednaka nuli.
     • Dva primjera standardnih kvadratnih jednadžbi: f (x) = x + 2x + 1 i f (x) = 9x + 10x -8.
   • Oblik tjemena. Kvadratna jednadžba bilježi se kao: f (x) = a (x - h) + k gdje su a, h i k stvarni brojevi, a a nije jednak nuli. Ovaj se oblik naziva vrh, jer se h i k odnose izravno na vrh vaše parabole u točki (h, k).
     • Dva primjera jednadžbi oblika vrhova su f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1
   • Da bismo napravili graf tih jednadžbi, prvo određujemo vrh (h, k) grafa. U standardnoj jednadžbi to ćete pronaći putem: h = -b / 2a i k = f (h), dok je to već dato u obliku vrha jer se h i k pojavljuju u jednadžbi.
2. Odredite svoje varijable. Za rješavanje kvadratne jednadžbe obično je potrebno odrediti varijable a, b i c (ili a, h i k). Redovita vježba dobit će jednadžbu drugog stupnja u standardnom obliku, ali se može pojaviti i oznaka vrha.
   • Na primjer: standardna funkcija f (x) = 2x + 16x + 39. Ovdje imamo a = 2, b = 16 i c = 39.
   • U oznakama vrhova: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Ovdje imamo a = 4, h = 5 i k = 12.
3. Izračunaj h. U oznaci vrha vrijednost h je već dana, ali u standardnoj notaciji tu vrijednost tek treba izračunati. Zapamtite da uz standardnu ​​jednadžbu vrijedi: h = -b / 2a.
   • Primjer 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Rješavanjem ovoga vidimo da je h = -4.
   • Primjer 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), odmah vidimo da je h = 5.
4. Izračunaj k. Kao i kod h, k je već poznat iz jednadžbi oblika vrhova. Za jednadžbe u standardnom zapisu, imajte na umu da je k = f (h). Drugim riječima, k možete pronaći zamjenom bilo koje varijable x vrijednošću h.
   • Vidjeli smo na primjer 1 da je h = -4. Da bismo pronašli k, ovu jednadžbu rješavamo popunjavanjem ove vrijednosti h u jednadžbu, za varijablu x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Iz primjera 2 znamo da je vrijednost k jednaka 12, bez potrebe za bilo kakvim proračunom.
5. Nacrtajte gornji ili donji dio grafikona. Vrh ili dolina vaše parabole je točka (h, k) - h predstavlja x koordinatu, a k y koordinatu. Vrh je središte vaše parabole - najviša ili najniža točka, vrh ili dolina, grafa u obliku "U" ili obrnuto.Mogućnost određivanja vrha parabole važan je dio crtanja ispravnog grafa - često je određivanje vrha parabole dio matematičkog problema u školi.
   • U primjeru 1, vrh grafikona je (-4,7). Nacrtajte točku na grafikonu i provjerite jeste li pravilno imenovali koordinate.
   • U primjeru 2, vrh je (5.12). Dakle, od točke (0,0) idete 5 mjesta udesno, a zatim gore 12.
6. Ako je potrebno, nacrtajte os simetrije parabole. Os simetrije parabole je crta koja presijeca lik u sredini, dijeleći ga točno na pola. Jedna strana grafikona zrcali se duž ove crte na drugoj strani grafikona. U kvadratnim jednadžbama ili ax + bx + c ili a (x - h) + k, ova os je linija paralelna osi y koja prolazi kroz vrh parabole.
   • U slučaju primjera 1, os simetrije je linija paralelna s osi y i prolazi kroz točku (-4,7). Iako nije dio same parabole, lagano naglašavanje ove smjernice može vam pokazati koliko je simetrična krivulja parabole.
7. Odrediti smjer parabole. Nakon što ste saznali što je vrh parabole, potrebno je znati imate li posla s planinskom ili dolinskom parabolom, tj. Je li otvor na dnu ili na vrhu. Srećom, ovo je vrlo lako. Ako je "a" pozitivno, imate posla s dolinom parabolom; ako je "a" negativno, to je planinska parabola (s otvorom na dnu)
   • U primjeru 1 imamo posla s funkcijom (f (x) = 2x + 16x + 39), tako da je ovo parabola doline, jer je a = 2 (pozitivno).
   • U primjeru 2 imamo posla s funkcijom f (x) = 4 (x - 5) + 12), a ovo je također parabola doline jer je a = 4 (pozitivno).
8. Ako je potrebno, odredite presječne točke parabole. Često kada se od matematičkog zadatka traži da daje presjeke parabole s osi x (to su "nula", a ili dva točke u kojima se parabola siječe ili pogađa x osu). Čak i ako nisu zatražene, ove su točke vrlo važne kako bi se mogao nacrtati točan grafikon. Ali nemaju sve parabole presjek s osi x. Ako imate posla s dolinom parabolom i točka doline je iznad osi x ili, u slučaju planinske parabole, odmah ispod osi x, tada jednostavno nema mjesta presijecanja. Ako je to slučaj, upotrijebite jedan od sljedećih načina:
   • Odredite da je f (x) = 0 i riješite jednadžbu. Ova metoda može raditi za jednostavne kvadratne jednadžbe, posebno u obliku tjemena, ali vidjet ćete da je to sve teže kako funkcije postaju složenije. Ispod je nekoliko primjera.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 su presječne točke s osi x parabole.
   • Faktor jednadžbe. Neke se jednadžbe u obliku ax + bx + c mogu lako prepisati kao (dx + e) ​​(fx + g), gdje je dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx i e × g = c. U ovom su slučaju presjeci x vrijednosti x, gdje svaki pojam unutar zagrada postaje jednak 0. Na primjer:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • U ovom je slučaju presječna točka -1, jer se s oba faktora unosi nula.
   • Upotrijebite formulu abc. Ako nije lako shvatiti sjecišta ili faktorizirati jednadžbu, upotrijebite "abc formulu" posebno u tu svrhu. Pretpostavimo jednadžbu u obliku ax + bx + c. Zatim unesite vrijednosti a, b i c u formulu x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Imajte na umu da vam ovo često daje dva odgovora za x, što je u redu - to samo znači da vaša parabola ima dva sjecišta s x osi. Evo primjera:
     • U jednadžbu unesite -5x + 1x + 10 na sljedeći način:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Sjecišta parabole s osi x približno su x = -1,318 i 1,518
     • Kao u primjeru 1 s jednadžbom 2x + 16x + 39, ovo će izgledati ovako:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Budući da nije moguće pronaći kvadratni korijen negativnog broja, znamo da za ovu određenu parabolu ne postoje presječne točke s osi x.
9. Ako je potrebno, odredite presjek parabole s osi y. Često nije potrebno, ali ponekad je potrebno pronaći ovo raskrižje, na primjer za matematički zadatak. To je prilično jednostavno - postavite vrijednost x na 0 i riješite jednadžbu za f (x) ili y, što vam daje vrijednost y točke u kojoj se parabola siječe s osi y. Razlika s presječnim točkama kroz x-os je ta što na y-osi uvijek postoji samo jedna presječna točka. Napomena - kod standardnih jednadžbi presjek s osi y nalazi se na y = c.
   • Na primjer, znamo da naša kvadratna jednadžba 2x + 16x + 39 ima presjek y = 39, ali to možemo pronaći i na sljedeći način:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Sjecište parabole s osi y: y = 39. Kao što je gore naznačeno, lako možemo pročitati sjecište jer je y = c.
   • Jednadžba 4 (x - 5) + 12 ima presjek s osi y koja se može naći na sljedeći način:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Sjecište s osi y: y = 112.
10. Ako mislite da je to potrebno, prvo izvucite dodatne bodove, a zatim cijeli grafikon. Sada biste trebali imati vrh ili dolinu, pravac, točke presjeka s osi x i možda s osi y svoje jednadžbe. Od ove točke možete pokušati nacrtati parabolu koristeći ove točke ili možete pokušati pronaći više točaka kako bi graf bio precizniji. To ćete najlakše učiniti jednostavnim unosom broja x vrijednosti, što će vratiti broj y vrijednosti. Često će vas (učitelj) tražiti da izračunate broj bodova prije nego što počnete crtati parabolu.
    • Pogledajmo još jednom jednadžbu x + 2x + 1. Već znamo da je jedino sjecište s osi x (-1,0). Budući da u ovom trenutku dotiče samo osu x, možemo zaključiti da je vrh grafikona jednak ovoj točki. Za sada imamo samo jednu točku ove parabole - ni približno dovoljnu za crtanje grafa. Pronađimo još nekoliko točaka kako bismo bili sigurni da imamo više vrijednosti.
      • Pokušajmo pronaći y vrijednosti koje odgovaraju sljedećim x vrijednostima: 0, 1, -2 i -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Tada je točka (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Zatim točka (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Zatim točka (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Zatim točka (-3,4).
      • Stavite ove točke u grafikon i nacrtajte svoju parabolu. Imajte na umu da je parabola potpuno simetrična - ako znate točke na jednoj strani grafikona, obično si možete uštedjeti puno posla koristeći ove točke kako biste pronašli točke s druge strane osi simetrije.

Savjeti

• Ako je potrebno, zaokružite brojeve ili upotrijebite razlomke. To može pomoći u ispravnom prikazivanju grafikona.
• Imajte na umu da ako su za funkciju f (x) = ax + bx + c, b ili c jednake nuli, ti će pojmovi nestati. Na primjer, 12x + 0x + 6 postaje jednako 12x + 6 jer je 0x jednako 0.