Sadržaj

• Koraci
• Savjeti

Grafikon kvadratne jednadžbe oblika ax + bx + c ili a (x - h) + k je parabola (U -krivulja). Da biste iscrtali takvu jednadžbu, morate pronaći vrh parabole, njezin smjer i sjecišta s osi X i Y. Ako vam je data relativno jednostavna kvadratna jednadžba, tada možete zamijeniti različite vrijednosti "x ", pronađite odgovarajuće vrijednosti" y "i sastavite grafikon ...

Koraci

1. 1 Kvadratna jednadžba može se napisati u standardnom obliku i u nestandardnom obliku. Za iscrtavanje kvadratne jednadžbe možete koristiti bilo koju jednadžbu (metoda crtanja je malo drugačija). U pravilu se u problemima kvadratne jednadžbe daju u standardnom obliku, ali ovaj će vam članak govoriti o obje vrste pisanja kvadratne jednadžbe.
   • Standardni oblik: f (x) = ax + bx + c, gdje su a, b, c stvarni brojevi i a ≠ 0.
     • Na primjer, dvije jednadžbe standardnog oblika: f (x) = x + 2x + 1 i f (x) = 9x + 10x -8.
   • Nestandardni oblik: f (x) = a (x - h) + k, gdje su a, h, k realni brojevi i a ≠ 0.
     • Na primjer, dvije jednadžbe nestandardnog oblika: f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1.
   • Da biste iscrtali bilo koju kvadratnu jednadžbu, najprije morate pronaći vrh parabole koji ima koordinate (h, k). Koordinate vrha parabole u jednadžbama standardnog oblika izračunavaju se po formulama: h = -b / 2a i k = f (h); koordinate vrha parabole u jednadžbama nestandardnog oblika mogu se dobiti izravno iz jednadžbi.
2. 2 Za iscrtavanje grafikona morate pronaći numeričke vrijednosti koeficijenata a, b, c (ili a, h, k). U većini problema date su kvadratne jednadžbe s numeričkim vrijednostima koeficijenata.
   • Na primjer, u standardnoj jednadžbi f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Na primjer, u nestandardnoj jednadžbi f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Izračunajte h u standardnoj jednadžbi (u nestandardnoj je već dano) koristeći formulu: h = -b / 2a.
   • U našem primjeru standardne jednadžbe, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • U našem primjeru nestandardne jednadžbe, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Izračunajte k u standardnoj jednadžbi (u nestandardnoj je već dano). Upamtite da je k = f (h), odnosno možete pronaći k zamjenom pronađene vrijednosti h umjesto "x" u izvornu jednadžbu.
   • Utvrdili ste da je h = -4 (za standardnu ​​jednadžbu). Da biste izračunali k, zamijenite ovu vrijednost s "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • U nestandardnoj jednadžbi, k = 12.
5. 5 Nacrtajte vrh s koordinatama (h, k) na koordinatnoj ravnini. h je ucrtano duž osi X, a k ucrtano po osi Y. Vrh parabole je ili najniža točka (ako je parabola usmjerena prema gore) ili najviša točka (ako je parabola usmjerena prema dolje).
   • U našem primjeru standardne jednadžbe, vrh ima koordinate (-4, 7). Nacrtajte ovu točku na koordinatnoj ravnini.
   • U našem primjeru prilagođene jednadžbe, vrh ima koordinate (5, 12). Nacrtajte ovu točku na koordinatnoj ravnini.
6. 6 Nacrtajte os simetrije parabole (izborno). Os simetrije prolazi kroz vrh parabole paralelno s osi Y (to jest, strogo okomito). Os simetrije dijeli parabolu na pola (to jest, parabola je zrcalno simetrična oko ove osi).
   • U našem primjeru standardne jednadžbe, os simetrije je ravna linija paralelna s osi Y i prolazi kroz točku (-4, 7). Iako ova linija nije dio same parabole, daje ideju o simetriji parabole.
7. 7 Odredite smjer parabole - gore ili dolje. To je vrlo lako učiniti.Ako je koeficijent "a" pozitivan, tada je parabola usmjerena prema gore, a ako je koeficijent "a" negativan, tada je parabola usmjerena prema dolje.
   • U našem primjeru standardne jednadžbe, f (x) = 2x + 16x + 39, parabola je usmjerena prema gore, budući da je a = 2 (pozitivni koeficijent).
   • U našem primjeru nestandardne jednadžbe f (x) = 4 (x - 5) + 12, parabola je također usmjerena prema gore, budući da je a = 4 (pozitivni koeficijent).
8. 8 Ako je potrebno, locirajte i iscrtajte presjek x. Ove će vam točke puno pomoći pri crtanju parabole. Mogu postojati dvije, jedna ili nijedna (ako je parabola usmjerena prema gore i njezin vrh leži iznad osi X, ili ako je parabola usmjerena prema dolje, a njezin vrh leži ispod osi X). Za izračun koordinata točaka sjecišta s osi X učinite sljedeće:
   • Jednadžbu postavite na nulu: f (x) = 0 i riješite je. Ova metoda radi s jednostavnim kvadratnim jednadžbama (osobito nestandardnim), ali može biti iznimno teška za složene jednadžbe. U našem primjeru:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Točke sjecišta parabole s osi X imaju koordinate (11,0) i (13,0).
   • Umnožite kvadratnu jednadžbu standardnog oblika: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), gdje je dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Zatim postavite svaki binom na 0 i pronađite vrijednosti za "x". Na primjer:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • U ovom slučaju postoji jedno sjecište parabole s osi x s koordinatama (-1,0), jer je pri x + 1 = 0 x = -1.
   • Ako ne možete faktoriti jednadžbu, riješite je pomoću kvadratne formule: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • Na primjer: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14,18) /- 10
     • x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Točke sjecišta parabole s osi X imaju koordinate (-1,318,0) i (1,518,0).
     • U našem primjeru jednadžbe standardnog oblika 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Budući da je nemoguće izvući kvadratni korijen negativnog broja, u ovom slučaju parabola ne siječe os X.
9. 9 Po potrebi locirajte i iscrtajte y-presretanje. Vrlo je jednostavno - umetnite x = 0 u izvornu jednadžbu i pronađite vrijednost za "y". Y-presjek je uvijek isti. Napomena: u jednadžbama standardnog oblika točka sjecišta ima koordinate (0, s).
   • Na primjer, parabola kvadratne jednadžbe 2x + 16x + 39 siječe se s osi Y u točki s koordinatama (0, 39), budući da je c = 39. Ali to se može izračunati:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, odnosno parabola ove kvadratne jednadžbe siječe os Y u točki s koordinatama (0, 39).
   • U našem primjeru nestandardne jednadžbe 4 (x-5) + 12, presjek y izračunava se na sljedeći način:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, odnosno parabola ove kvadratne jednadžbe siječe os Y u točki s koordinatama (0, 112).
10. 10 Pronašli ste (i iscrtali) vrh parabole, njezin smjer i sjecišta s osi X i Y. Možete izgraditi parabole iz ovih točaka ili pronaći i iscrtati dodatne točke pa tek tada izgraditi parabolu. Da biste to učinili, uključite više x vrijednosti (s obje strane vrha) u izvornu jednadžbu kako biste izračunali odgovarajuće vrijednosti y.
    • Vratimo se na jednadžbu x + 2x + 1. Već znate da je sjecište grafa ove jednadžbe s osi X točka s koordinatama (-1,0). Ako parabola ima samo jedno sjecište s osi X, tada je to vrh parabole koja leži na osi X. U ovom slučaju jedna točka nije dovoljna za izgradnju pravilne parabole. Zato pronađite dodatne bodove.
      • Recimo x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Koordinate točke: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Koordinate točke: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Koordinate točke: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Koordinate točke: (-3,4).
      • Nacrtajte te točke na koordinatnoj ravnini i nacrtajte parabolu (spojite točke U-krivuljom). Napominjemo da je parabola apsolutno simetrična - bilo koja točka na jednoj grani parabole može se zrcaliti (u odnosu na os simetrije) na drugoj grani parabole. Time ćete uštedjeti vrijeme jer ne morate izračunavati koordinate točaka na obje grane parabole.

Savjeti

• Zaokruži razlomačne brojeve (ako je to uvjet učitelja) - ovako se gradi ispravna parabola.
• Ako su u f (x) = ax + bx + c koeficijenti b ili c jednaki nuli, tada u jednadžbi nema pojmova s ​​tim koeficijentima.Na primjer, 12x + 0x + 6 postaje 12x + 6 jer je 0x 0.