Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 3: Faktoriziranje jednadžbe
• Metoda 2 od 3: Korištenje kvadratne formule
• Metoda 3 od 3: Dovršavanje kvadrata
• Savjeti

Kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj je najveća snaga varijable 2. Postoje tri glavna načina rješavanja kvadratnih jednadžbi: ako je moguće, faktorite kvadratnu jednadžbu, upotrijebite kvadratnu formulu ili dovršite kvadrat. Želite li znati kako se sve to radi? Nastavi čitati.

Koraci

Metoda 1 od 3: Faktoriziranje jednadžbe

1. 1 Dodajte sve slične elemente i prenesite ih na jednu stranu jednadžbe. Ovo će biti prvi korak, što znači ${ displaystyle x ^ {2}}$ u ovom bi slučaju trebao ostati pozitivan. Dodajte ili oduzmite sve vrijednosti ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ i konstantno, prenoseći sve u jedan dio, a ostavljajući 0 u drugom. Evo kako to učiniti:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktor izraza. Da biste to učinili, morate koristiti vrijednosti ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konstantne vrijednosti (-4), moraju se pomnožiti i oblikovati -11. Evo kako to učiniti:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ ima samo dva moguća faktora: ${ displaystyle 3x}$ i ${ displaystyle x}$pa se mogu napisati u zagradi: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Zatim, zamjenjujući faktore 4, nalazimo kombinaciju koja, kada se pomnoži, daje -11x. Možete koristiti kombinaciju 4 i 1, ili 2 i 2, jer obje daju 4. Sjetite se da vrijednosti moraju biti negativne, jer imamo -4.
   • Pokušajem i pogreškom dobivate kombinaciju ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Kod množenja dobivamo ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Spajanjem ${ displaystyle -12x}$ i ${ displaystyle x}$, dobivamo srednji rok ${ displaystyle -11x}$koje smo tražili. Kvadratna jednadžba je faktorizirana.
   • Na primjer, pokušajmo s neprikladnom kombinacijom: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombinirajući, dobivamo ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Iako se faktori -2 i 2 množe na -4, srednji rok ne funkcionira jer smo htjeli dobiti ${ displaystyle -11x}$, ali ne ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Svaki izraz u zagradama izjednačite s nulom (kao zasebne jednadžbe). Ovako nalazimo dva značenja ${ displaystyle x}$za koje je cijela jednadžba jednaka nuli, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Sada ostaje jednak nuli svaki od izraza u zagradama. Zašto? Poanta je u tome da je umnožak jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Kao ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ je nula, tada je (3x + 1) ili (x - 4) nula. Zapiši ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ i ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Riješite svaku jednadžbu zasebno. U kvadratnoj jednadžbi x ima dva značenja. Riješite jednadžbe i zapišite x vrijednosti:
   • Riješite jednadžbu 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... oduzimanjem
     • 3x / 3 = -1/3 ..... dijeljenjem
     • x = -1/3 ..... nakon pojednostavljenja
   • Riješite jednadžbu x - 4 = 0
     • x = 4 ..... oduzimanjem
   • x = (-1/3, 4) ..... moguće vrijednosti, tj. x = -1/3 ili x = 4.
5. 5 Provjerite x = -1/3 uključivanjem ove vrijednosti u (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... zamjenom
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... nakon pojednostavljenja
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... nakon množenja
   • 0 = 0, pa je x = -1/3 točan odgovor.
6. 6 Provjerite x = 4 uključivanjem ove vrijednosti u (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... zamjenom
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... nakon pojednostavljenja
   • (13) (0) = 0 ..... nakon množenja
   • 0 = 0, stoga je x = 4 točan odgovor.
   • Dakle, oba su rješenja točna.

Metoda 2 od 3: Korištenje kvadratne formule

1. 1 Kombinirajte sve pojmove i zapišite ih s jedne strane jednadžbe. Spremite vrijednost ${ displaystyle x ^ {2}}$ pozitivan. Napišite pojmove prema opadajućim stupnjevima, dakle izraz ${ displaystyle x ^ {2}}$ prvo se piše, pa onda ${ displaystyle x}$ a zatim konstanta:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Zapišite formulu za korijene kvadratne jednadžbe. Formula izgleda ovako: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Odredite vrijednosti a, b i c u kvadratnoj jednadžbi. Promjenjivo a je koeficijent pojma x, b - član x, c - konstantno. Za jednadžbu 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 i c = -8. Zapisati.
4. 4 Uključite vrijednosti za a, b i c u jednadžbu. Poznavajući vrijednosti tri varijable, možete ih uključiti u jednadžbu na sljedeći način:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Prebrojite. Zamijenite vrijednosti, pojednostavite prednosti i nedostatke te pomnožite ili uokvirite preostale izraze:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Pojednostavite kvadratni korijen. Ako je kvadratni korijen kvadrat, dobit ćete cijeli broj. Ako nije, pojednostavite to na najjednostavniju korijensku vrijednost. Ako je broj negativan, i sigurni ste da mora biti negativan, tada će korijenje biti složeno. U ovom primjeru √ (121) = 11. Možete napisati da je x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Pronađite pozitivna i negativna rješenja. Ako ste uklonili znak kvadratnog korijena, možete nastaviti dok ne pronađete pozitivne i negativne x vrijednosti. Nakon (5 +/- 11) / 6 možete napisati:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Pronađite pozitivne i negativne vrijednosti. Samo izbroj:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Pojednostaviti. Da biste to učinili, jednostavno podijelite oboje prema najvećem zajedničkom faktoru. Prvi razlomak podijelite s 2, drugi sa 6, x je pronađen.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metoda 3 od 3: Dovršavanje kvadrata

1. 1 Premjestite sve pojmove na jednu stranu jednadžbe.a ili x mora biti pozitivno. To se radi ovako:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • U ovoj jednadžbi a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Prijenos člana c (trajno) na drugu stranu. Konstanta je pojam u jednadžbi koji sadrži samo numeričku vrijednost, bez varijabli.Pomaknite ga na desnu stranu:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Podijelite oba dijela po faktoru a ili x. Ako x nema koeficijent, onda je jednak jedan i ovaj korak se može preskočiti. U našem primjeru dijelimo sve članove na 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Podijeliti b za 2, kvadrat i dodajte s obje strane. U našem primjeru b jednako -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Pojednostavite obje strane. Uokvirite izraze lijevo da biste dobili (x-3) (x-3) ili (x-3). Dodajte pojmove s desne strane da biste dobili 9/2 + 9 ili 9/2 + 18/2, što je 27/2.
6. 6 Izvadite kvadratni korijen s obje strane. Kvadratni korijen (x-3) je jednostavno (x-3). Kvadratni korijen od 27/2 može se napisati kao ± √ (27/2). Dakle, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Pojednostavite radikalno izražavanje i pronaći x. Da pojednostavimo ± √ (27/2), pronađite savršeni kvadrat u brojevima 27 i 2 ili njihove faktore. U 27. postoji potpuni kvadrat 9, jer je 9 x 3 = 27. Da biste zaključili 9 iz znaka korijena, uzmite korijen iz njega i oduzmite 3 iz znaka korijena. Ostavite 3 u brojnicima razlomka pod znakom korijena, jer se ovaj faktor ne može izdvojiti, a također ostavite 2 na dnu. Zatim pomaknite konstantu 3 s lijeve strane jednadžbe na desnu stranu i zapišite dva rješenja za x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Savjeti

• Ako broj pod znakom korijena nije potpuni kvadrat, tada se posljednjih nekoliko koraka izvodi malo drugačije. Evo primjera:
• Kao što vidite, znak korijena nije nestao. Na taj se način pojmovi u brojnicima ne mogu kombinirati. Tada nema smisla dijeliti plus ili minus. Umjesto toga, dijelimo sve zajedničke faktore - ali samo ako je faktor zajednički konstanti i korijenski koeficijent.