Sadržaj

• Koraci
• 1. dio 2: Pronalaženje osnovnih faktora
• Dio 2 od 2: Korištenje osnovnih faktora
• Primjeri zadataka
• Savjeti
• Upozorenja

Bilo koji prirodni broj može se razgraditi na umnožak prostih faktora. Ako se ne volite baviti velikim brojevima poput 5733, naučite ih rastaviti (u ovom slučaju 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Sličan se zadatak često susreće u kriptografiji koja se bavi problemima sigurnosti informacija. Ako još niste spremni za izgradnju vlastitog sigurnog sustava e -pošte, prvo naučite izračunavati brojeve.

Koraci

1. dio 2: Pronalaženje osnovnih faktora

1. 1 Saznajte što je faktoring. Razlaganje broja na umnožak čimbenika je proces njegova “cijepanja” na manje dijelove.Kad se množe, ti dijelovi ili faktori daju izvorni broj.
   • Na primjer, broj 18 može se razložiti na sljedeće produkte: 1 x 18, 2 x 9 ili 3 x 6.
2. 2 Sjetite se što su prosti brojevi. Prosti broj je djeljiv sa samo dva broja bez ostatka: sam po sebi i sa 1. Na primjer, broj 5 se može predstaviti kao umnožak 5 i 1. Taj se broj ne može raščlaniti na druge faktore. Svrha faktoriziranja broja u proste faktore je njegovo predstavljanje kao proizvod prostih brojeva. To je osobito korisno pri radu s razlomacima jer vam omogućuje usporedbu i pojednostavljivanje.
3. 3 Počnite s izvornim brojem. Odaberite složeni broj veći od 3. Nema smisla uzimati prost broj, jer je djeljiv samo sa sobom i jedinicom.
   • Primjer: Razložimo broj 24 na umnožak prostih brojeva.
4. 4 Podijelimo ovaj broj na umnožak dvaju faktora. Pronađi dva manja broja čiji je proizvod jednak izvornom broju. Može se koristiti bilo koji faktor, ali lakše je uzeti proste brojeve. Jedan od dobrih načina je pokušati prvotni broj podijeliti prvo s 2, zatim s 3, zatim s 5 i provjeriti koji od ovih prostih brojeva dijeli bez ostatka.
   • Primjer: Ako ne znate faktore za 24, pokušajte ga podijeliti na male proste brojeve. Tako ćete otkriti da je zadani broj djeljiv sa 2: 24 = 2 x 12... Ovo je dobar početak.
   • Budući da je 2 prost broj, dobro ga je koristiti pri faktoringu parnih brojeva.
5. 5 Počnite graditi stablo množitelja. Ovaj jednostavan postupak pomoći će vam da faktorirate broj. Za početak nacrtajte dvije "grane" prema dolje od izvornog broja. Na kraju svake grane napišite pronađene čimbenike.
   • Primjer:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Uzmite u obzir sljedeći red brojeva. Pogledajte dva nova broja (drugi red stabla množitelja). Jesu li oboje prosti brojevi? Ako jedan od njih nije jednostavan, također ga uvažite s dva faktora. Napravite još dvije grane i upišite dva nova faktora u treći redak stabla.
   • Primjer: 12 nije prost broj, pa ga treba faktoriti. Upotrijebite 12 = 2 x 6 dekompoziciju i upišite je u treći redak stabla:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Nastavite niz drvo. Ako se jedan od novih čimbenika pokaže prostim brojem, izvucite iz njega jednu "granu" i napišite isti broj na njegovom kraju. Prosti brojevi ne mogu se proširiti na manje čimbenike, pa ih samo pomaknite dolje za jednu razinu.
   • Primjer: 2 je jednostavno. Samo pomaknite 2 iz drugog u treći redak:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Nastavite s faktoriranjem brojeva sve dok vam ne ostanu samo prosti brojevi. Provjerite svaku novu liniju stabla. Ako barem jedan od novih faktora nije prost broj, faktorirajte ga i napišite novi redak. Na kraju će vam ostati samo prosti brojevi.
   • Primjer: 6 nije prost broj, pa ga treba i faktoritirati. Istodobno, 2 je prost broj, a dva dva prenosimo na sljedeću razinu:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Posljednji redak napišite kao umnožak prostih faktora. Na kraju će vam ostati samo prosti brojevi. Kada se to dogodi, primarna faktorizacija je dovršena. Zadnji redak je skup prostih brojeva čiji umnožak daje izvorni broj.
   • Provjerite svoj odgovor: pomnožite brojeve u zadnjem retku. Rezultat bi trebao biti izvorni broj.
   • Primjer: Posljednji red stabla faktora sadrži brojeve 2 i 3. Oba su ta broja prosta, pa je razlaganje dovršeno. Dakle, osnovna faktorizacija broja 24 ima sljedeći oblik: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Poredak faktora nije bitan. Razlaganje se može napisati i kao 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 Pojednostavite svoj odgovor ako želite, koristeći eksponencijalni zapis. Ako ste upoznati sa povećanjem brojeva, odgovor možete napisati u jednostavnijem obliku.Upamtite da je baza napisana pri dnu, a gornji broj označava koliko puta se ta baza mora pomnožiti sama sa sobom.
    • Primjer: koliko se puta broj 2 pojavljuje u pronađenoj dekompoziciji 2 x 2 x 2 x 3? Tri puta, pa se izraz 2 x 2 x 2 može napisati kao 2. U pojednostavljenom zapisu dobivamo 2 x 3.

Dio 2 od 2: Korištenje osnovnih faktora

1. 1 Pronađi najveći zajednički djelitelj dva broja. Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva broja je najveći broj kojim su oba broja djeljiva bez ostatka. Primjer u nastavku pokazuje kako se pomoću osnovne faktorije pronalazi najveći zajednički djelitelj od 30 i 36.
   • Faktorirajmo oba broja u proste faktore. Za 30 je faktorizacija 2 x 3 x 5. Broj 36 se razlaže na proste faktore na sljedeći način: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Pronađimo broj koji se javlja u oba proširenja. Precrtajmo ovaj broj na oba popisa i upišemo ga u novi redak. Na primjer, 2 se javlja u dva proširenja, pa pišemo 2 na novoj liniji. Nakon toga imamo 30 = 2 x 3 x 5 i 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Ponavljajte ovaj korak dok u proširenjima ne ostanu zajednički čimbenici. Oba popisa sadrže i broj 3, pa u novi redak možete pisati 2 i 3... Zatim ponovno usporedite proširenja: 30 = 2 x 3 x 5 i 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Kao što vidite, u njima nema zajedničkih čimbenika.
   • Da biste pronašli najveći zajednički faktor, pronađite umnožak svih zajedničkih čimbenika. U našem primjeru to su 2 i 3, pa je gcd 2 x 3 = 6... Ovo je najveći broj koji ravnomjerno dijeli brojeve 30 i 36.
2. 2 Uz pomoć GCD -a možete pojednostaviti razlomke. Ako sumnjate da se razlomak može poništiti, upotrijebite najveći zajednički faktor. Pomoću gornjeg postupka pronađite GCD brojnika i nazivnika. Zatim podijelite brojnik i nazivnik razlomka s tim brojem. Kao rezultat toga, dobivate isti razlomak u jednostavnijem obliku.
   • Na primjer, pojednostavimo razlomak /₃₆... Kao što smo gore naveli, za 30 i 36 GCD je 6, pa brojnik i nazivnik dijelimo sa 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Pronađi najmanji zajednički višekratnik dva broja. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) dva broja je najmanji broj koji je ravnomjerno djeljiv s oba broja. Na primjer, LCM od 2 i 3 je 6 jer je to najmanji broj koji se može dijeliti s 2 i 3. Ispod je primjer pronalaska LCM -a pomoću proste faktorizacije:
   • Počnimo s dvije osnovne faktorizacije. Na primjer, za 126, faktorizacija se može napisati kao 2 x 3 x 3 x 7. Broj 84 se može razložiti na proste faktore kao 2 x 2 x 3 x 7.
   • Usporedimo koliko se puta svaki faktor pojavljuje u ekspanzijama. Odaberite popis na kojem se množitelj pojavljuje najveći mogući broj puta i zaokružite ovo mjesto. Na primjer, broj 2 pojavljuje se jednom u proširenju za 126 i dvaput na popisu za 84, pa biste trebali zaokružiti 2 x 2 na drugom popisu čimbenika.
   • Ponovite ovaj korak za svaki množitelj. Na primjer, 3 je češće u prvom proširenju, pa biste trebali zaokružiti u njemu 3 x 3... Broj 7 se jednom pojavljuje na oba popisa, pa kružimo 7 (nije važno na kojem popisu, ako se dati faktor pojavi na oba popisa isti broj puta).
   • Da biste pronašli LCM, pomnožite sve zaokružene brojeve. U našem primjeru najmanji zajednički višekratnik od 126 i 84 je 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Ovo je najmanji broj koji je djeljiv sa 126 i 84 bez ostatka.
4. 4 Za dodavanje razlomaka koristite LCM. Prilikom zbrajanja dva razlomka potrebno ih je dovesti u zajednički nazivnik. Da biste to učinili, pronađite LCM dva nazivnika. Zatim pomnožite brojnik i nazivnik svakog razlomka s takvim brojem da su nazivnici razlomaka jednaki LCM -u. Nakon toga možete dodati razlomke.
   • Na primjer, morate pronaći iznos /₆ + /₂₁.
   • Koristeći gornju metodu, možete pronaći LCM za 6 i 21. To je 42.
   • Pretvaramo razlomak /₆ tako da njegov nazivnik bude 42. Da biste to učinili, trebate 42 podijeliti sa 6: 42 ÷ 6 = 7. Sada pomnožite brojnik i nazivnik razlomka sa 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • Da biste drugi razlomak doveli u nazivnik 42, podijelite 42 sa 21: 42 ÷ 21 = 2. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • Nakon što se razlomci reduciraju na isti nazivnik, mogu se lako dodati: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Primjeri zadataka

• Pokušajte sami riješiti probleme ispod.Ako mislite da ste dobili točan odgovor, označite mišem mjesto iza dvotočke u izjavi o problemu. Potonji zadaci su najteži.
• Nađi osnovnu faktorizaciju za 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Odgovor napišite u eksponencijalnom obliku: 2
• Nađi osnovnu faktorizaciju od 45: 3 x 3 x 5
• Odgovor napišite u eksponencijalnom obliku: 3 x 5
• Nađi osnovnu faktorizaciju za 34: 2 x 17
• Nađi osnovnu faktorizaciju 154: 2 x 7 x 11
• Pronađite prostu faktorizaciju za 8 i 40, a zatim odredite njihov najveći zajednički faktor: osnovna faktorizacija za 8 je 2 x 2 x 2 x 2; osnovna faktorizacija od 40 je 2 x 2 x 2 x 5; GCD dva broja 2 x 2 x 2 = 6.
• Pronađite prost faktorizaciju za 18 i 52 i pronađite njihov najmanji zajednički višekratnik: Prosta faktorizacija od 18 je 2 x 3 x 3; osnovna faktorizacija od 52 je 2 x 2 x 13; LCM dva broja je 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Savjeti

• Svaki broj ima svoju jedinstvenu faktorizaciju. Nije važno kako ćete pronaći ovo proširenje, trebali biste dobiti isti odgovor. To se naziva osnovnim aritmetičkim teoremom.
• Umjesto da svaki put prepisujete proste brojeve u novi redak stabla faktora, možete ih ostaviti na mjestu i jednostavno zaokružiti. Na kraju proširenja uključivat će sve zaokružene osnovne faktore.
• Uvijek provjerite odgovor koji dobijete. Možete pogriješiti, a da to ne primijetite.
• Pripremite se za lukave misije. Ako se od vas traži da pronađete prost faktorizaciju prostog broja, nema potrebe za nikakvim izračunima. Na primjer, za broj 17, prosta faktorizacija je 17; ovaj se broj ne može raščlaniti na druge proste faktore.
• Najveći zajednički faktor i najmanji zajednički višekratnik mogu se pronaći za tri ili više brojeva.

Upozorenja

• Stablo množitelja omogućuje vam određivanje samo osnovnih čimbenika, a ne svih mogućih čimbenika.