Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 2: Algebarska metoda
• Metoda 2 od 2: Grafička metoda
• Savjeti
• Upozorenje

Funkcije mogu biti parne, neparne ili općenite (to jest ni parne ni neparne). Vrsta funkcije ovisi o prisutnosti ili odsutnosti simetrije. Najbolji način za određivanje vrste funkcije je izvođenje niza algebarskih izračuna. No, tip funkcije može se saznati i prema njezinu rasporedu. Naučivši definirati vrstu funkcija, možete predvidjeti ponašanje određenih kombinacija funkcija.

Koraci

Metoda 1 od 2: Algebarska metoda

1. 1 Sjetite se koje su suprotne vrijednosti varijabli. U algebri je suprotna vrijednost varijable zapisana znakom “-” (minus). Štoviše, to vrijedi za bilo koju oznaku neovisne varijable (slovom ${ displaystyle x}$ ili bilo koje drugo slovo). Ako u izvornoj funkciji već postoji negativan predznak ispred varijable, tada će njezina suprotna vrijednost biti pozitivna varijabla. Ispod su primjeri nekih varijabli i njihovih suprotnih značenja:
   • Suprotno značenje za ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle -x}$.
   • Suprotno značenje za ${ displaystyle q}$ je ${ displaystyle -q}$.
   • Suprotno značenje za ${ displaystyle -w}$ je ${ displaystyle w}$.
2. 2 Zamijenite objašnjenje varijable suprotnom vrijednošću. Odnosno, obrnite znak neovisne varijable. Na primjer:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ preobraziti se u ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ preobraziti se u ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ preobraziti se u ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Pojednostavite novu funkciju. U ovom trenutku ne morate zamijeniti određene numeričke vrijednosti za neovisnu varijablu. Samo trebate pojednostaviti novu funkciju f (-x) kako biste je usporedili s izvornom funkcijom f (x). Upamtite osnovno pravilo eksponencijacije: podizanje negativne varijable na parnu snagu rezultirat će pozitivnom varijablom, a podizanje negativne varijable na neparnu snagu rezultirat će negativnom varijablom.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Usporedite dvije funkcije. Usporedite pojednostavljenu novu funkciju f (-x) s izvornom funkcijom f (x). Zapišite odgovarajuće izraze obje funkcije jedan ispod drugog i usporedite njihove znakove.
   • Ako se znakovi odgovarajućih članova obje funkcije podudaraju, to jest f (x) = f (-x), izvorna funkcija je parna. Primjer:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ i ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Ovdje se znakovi pojmova podudaraju, pa je izvorna funkcija parna.
   • Ako su znakovi odgovarajućih pojmova obiju funkcija suprotni, to jest f (x) = -f (-x), izvorna funkcija je parna. Primjer:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, ali ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Imajte na umu da ako pomnožite svaki pojam u prvoj funkciji s -1, dobit ćete drugu funkciju. Dakle, izvorna funkcija g (x) je neparna.
   • Ako se nova funkcija ne podudara ni s jednim od gornjih primjera, onda je to opća funkcija (odnosno nije ni parna ni neparna). Na primjer:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, ali ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Znakovi prvih pojmova obje funkcije su isti, a znakovi drugog pojma su suprotni. Stoga ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Metoda 2 od 2: Grafička metoda

1. 1 Nacrtajte grafikon funkcija. Da biste to učinili, upotrijebite grafički papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji višekratnik vrijednosti numeričke objašnjenja varijable ${ displaystyle x}$ te ih uključite u funkciju za izračunavanje vrijednosti ovisne varijable ${ displaystyle y}$... Nacrtajte pronađene koordinate točaka na koordinatnoj ravnini, a zatim spojite te točke kako biste izgradili graf funkcije.
   • Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti u funkciji ${ displaystyle x}$ i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, s obzirom na funkciju ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Uključite sljedeće vrijednosti ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Dobio sam točku s koordinatama ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Dobio sam točku s koordinatama ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Dobio sam točku s koordinatama ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Dobio sam točku s koordinatama ${ displaystyle (-2,9)}$.
2. 2 Provjerite je li graf funkcije simetričan oko osi y. Simetrija se odnosi na zrcaljenje grafikona oko osi ordinata. Ako se dio grafikona desno od osi y (pozitivna objašnjena varijabla) podudara s dijelom grafikona lijevo od osi y (negativne vrijednosti objašnjenja varijable), graf je simetričan oko os y. Ako je funkcija simetrična u odnosu na ordinatu, funkcija je parna.
   • Simetriju grafikona možete provjeriti po pojedinim točkama. Ako je vrijednost ${ displaystyle y}$što odgovara vrijednosti ${ displaystyle x}$, odgovara vrijednosti ${ displaystyle y}$što odgovara vrijednosti ${ displaystyle -x}$, funkcija je parna.U našem primjeru s funkcijom ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ imamo sljedeće koordinate točaka:
     • (1.3) i (-1.3)
     • (2,9) i (-2,9)
   • Imajte na umu da kada je x = 1 i x = -1, ovisna varijabla je y = 3, a kada je x = 2 i x = -2, ovisna varijabla je y = 9. Dakle, funkcija je jednaka. Zapravo, da biste saznali točan oblik funkcije, morate uzeti u obzir više od dvije točke, ali opisana metoda je dobra aproksimacija.
3. 3 Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Ishodište je točka s koordinatama (0,0). Simetrija o podrijetlu znači da je pozitivna vrijednost ${ displaystyle y}$ (s pozitivnom vrijednošću ${ displaystyle x}$) odgovara negativnoj vrijednosti ${ displaystyle y}$ (s negativnom vrijednošću ${ displaystyle x}$), i obrnuto. Neparne funkcije simetrične su u odnosu na ishodište.
   • Zamijenimo li u funkciji nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti ${ displaystyle x}$, vrijednosti ${ displaystyle y}$ razlikovat će se po predznaku. Na primjer, s obzirom na funkciju ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Zamijenite više vrijednosti u njemu ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Dobio sam točku s koordinatama (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Dobili smo točku s koordinatama (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Dobio sam točku s koordinatama (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Dobili smo točku s koordinatama (-2, -10).
   • Dakle, f (x) = -f (-x), odnosno funkcija je neparna.
4. 4 Provjerite ima li grafikon funkcije bilo kakvu simetriju. Posljednja vrsta funkcije je funkcija čiji graf nema simetriju, odnosno nema zrcaljenja ni oko osi ordinata ni oko ishodišta. Na primjer, s obzirom na funkciju ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • U funkciju zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Dobio sam točku s koordinatama (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Dobili smo točku s koordinatama (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Dobio sam točku s koordinatama (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Dobili smo točku s koordinatama (2, -2).
   • Prema dobivenim rezultatima nema simetrije. Vrijednosti ${ displaystyle y}$ za suprotne vrijednosti ${ displaystyle x}$ ne podudaraju se i nisu suprotni. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna.
   • Imajte na umu da funkcija ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ može se napisati ovako: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Kad je zapisano u ovom obliku, čini se da je funkcija parna jer je prisutan parni eksponent. Ali ovaj primjer dokazuje da se vrsta funkcije ne može brzo odrediti ako je nezavisna varijabla zatvorena u zagradi. U tom slučaju morate otvoriti zagrade i analizirati primljene eksponente.

Savjeti

• Ako je eksponent nezavisne varijable paran, tada je funkcija parna; ako je eksponent neparan, funkcija je neparna.

Upozorenje

• Ovaj se članak može primijeniti samo na funkcije s dvije varijable, čije se vrijednosti mogu iscrtati na koordinatnoj ravnini.