Kako podijeliti matrice

Video: Saša Matić - Noći u Sibiru - kako svirati | karaoke | matrica | tutorial | klavir | akordi u opisu

Sadržaj

Kratak sažetak
Koraci
1. dio od 3: Testiranje djeljivosti matrica
2. dio 3: Pronalaženje inverzne matrice
3. dio od 3: Matrično množenje
Savjeti
Upozorenja
Dodatni članci

Ako znate pomnožiti dvije matrice, možete početi "dijeliti" matrice. Riječ "podjela" zatvorena je pod navodnicima, jer se matrice zapravo ne mogu podijeliti. Operacija dijeljenja zamjenjuje se operacijom množenja jedne matrice s matricom koja je inverzna drugoj matrici. Radi jednostavnosti, razmotrite primjer s cijelim brojevima: 10 ÷ 5. Pronađite recipročnu vrijednost 5: 5 ili /₅, a zatim dijeljenje zamijenite množenjem: 10 x 5; rezultat dijeljenja i množenja bit će isti. Stoga se vjeruje da se podjela može zamijeniti množenjem s inverznom matricom. Obično se takvi izračuni koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Kratak sažetak

Ne možete dijeliti matrice. Umjesto dijeljenja, jedna se matrica pomnoži s inversom druge matrice. "Podjela" dviju matrica [A] ÷ [B] zapisuje se na sljedeći način: [A] * [B] ili [B] * [A].
Ako matrica [B] nije kvadratna ili ako je njezina odrednica 0, zapišite "nema jednoznačnog rješenja". U suprotnom, pronađite odrednicu matrice [B] i prijeđite na sljedeći korak.
Nađi inverzno: [B].
Pomnožite matrice da biste pronašli [A] * [B] ili [B] * [A]. Imajte na umu da redoslijed množenja matrica utječe na konačni rezultat (to jest, rezultati mogu varirati).

Koraci

1. dio od 3: Testiranje djeljivosti matrica

1 Shvatite "podjelu" matrica. Zapravo, matrice se ne mogu podijeliti. Ne postoji takva matematička operacija kao “dijeljenje jedne matrice drugom”. Dijeljenje se zamjenjuje množenjem jedne matrice obrnuto od druge matrice. Odnosno, oznaka [A] ÷ [B] nije točna, pa se zamjenjuje sljedećom oznakom: [A] * [B]. Budući da su oba unosa ekvivalentna u slučaju skalarnih vrijednosti, teoretski se može govoriti o "podjeli" matrica, no ipak je bolje koristiti ispravnu terminologiju.
- Imajte na umu da su [A] * [B] i [B] * [A] različite operacije. Možda će biti potrebno provesti obje operacije kako bi se pronašla sva moguća rješenja.
- Na primjer, umjesto ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ Zapiši ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Možda ćete morati izračunati ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ da biste dobili drugačiji rezultat.
2 Provjerite je li matrica s kojom "dijelite" drugu matricu kvadratna. Da biste obrnuli matricu (pronađite inverz matrice), ona mora biti kvadratna, to jest s istim brojem redaka i stupaca. Ako obrnuta matrica nije inverzna, nema definitivnog rješenja.
- Opet, matrice ovdje nisu "djeljive". U operaciji [A] * [B], opisani uvjet se odnosi na matricu [B]. U našem primjeru, ovaj uvjet se odnosi na matricu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matrica koja se može obrnuti naziva se ne-degenerirana ili pravilna. Matrica koja se ne može obrnuti naziva se degenerirana ili singularna.
3 Provjerite mogu li se dvije matrice pomnožiti. Da biste pomnožili dvije matrice, broj stupaca u prvoj matrici mora biti jednak broju redaka u drugoj matrici. Ako ovaj uvjet nije ispunjen u unosu [A] * [B] ili [B] * [A], nema rješenja.
- Na primjer, ako je veličina matrice [A] 4 x 3, a veličina matrice [B] 2 x 2, nema rješenja. Ne možete pomnožiti [A] * [B] jer 4 ≠ 2, a ne možete pomnožiti [B] * [A] jer 2 ≠ 3.
- Imajte na umu da inverzna matrica [B] uvijek ima isti broj redaka i stupaca kao i izvorna matrica [B]. Nije potrebno pronaći inverznu matricu kako bi se provjerilo da li se dvije matrice mogu pomnožiti.
- U našem primjeru veličina obje matrice je 2 x 2, pa se mogu pomnožiti bilo kojim redoslijedom.
4 Pronađi odrednicu matrice 2 × 2. Upamtite: matricu možete obrnuti samo ako njezina odrednica nije nula (u protivnom ne možete obrnuti matricu). Evo kako pronaći odrednicu matrice 2 x 2:
- 2 x 2 matrica: odrednica matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ jednak je ad - bc. Odnosno, od umnožaka elemenata glavne dijagonale (prolazi kroz gornji lijevi i donji desni kut) oduzmite produkte elemenata druge dijagonale (prolazi kroz gornji desni i donji lijevi kut).
- Na primjer, odrednica matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ jednak je (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Odrednica nije nula, pa se ova matrica može obrnuti.
5 Pronađi odrednicu veće matrice. Ako je veličina matrice 3 x 3 ili više, odrednicu je nešto teže izračunati.
- Matrica 3 x 3: odaberite bilo koju stavku i precrtajte redak i stupac u kojem se nalazi.Pronađite odrednicu dobivene matrice 2 × 2, a zatim je pomnožite s odabranim elementom; navedite znak odrednice u posebnoj tablici. Ponovite ovaj postupak za ostale dvije stavke koje su u istom retku ili stupcu kao i stavka koju ste odabrali. Zatim pronađite zbroj (tri) primljenih odrednica. Pročitajte ovaj članak za više informacija o tome kako pronaći odrednicu matrice 3 x 3.
- Velike matrice: odrednicu takvih matrica najbolje je tražiti pomoću grafičkog kalkulatora ili softvera. Metoda je slična metodi za pronalaženje determinante matrice 3 × 3, ali je prilično dosadno primijeniti je ručno. Na primjer, da biste pronašli odrednicu matrice 4 x 4, morate pronaći odrednice četiri matrice 3 x 3.
6 Nastavite s izračunima. Ako matrica nije kvadratna ili je njezina odrednica jednaka nuli, napišite "nema jednoznačnog rješenja", odnosno proces izračuna je dovršen. Ako je matrica kvadratna i ima odrednicu različitu od nule, prijeđite na sljedeći odjeljak.

2. dio 3: Pronalaženje inverzne matrice

1 Zamijenite elemente glavne dijagonale matrice 2 x 2. S obzirom na matricu 2 × 2, upotrijebite brzu inverznu metodu. Najprije zamijenite gornji lijevi element i donji desni element. Na primjer:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Bilješka: većina ljudi koristi kalkulatore za inverziju matrice 3 x 3 (ili veće). Ako to trebate učiniti ručno, idite na kraj ovog odjeljka.
2 Nemojte zamijeniti preostala dva elementa, već promijenite njihov predznak. To jest, pomnožite gornji desni element i donji lijevi element sa -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Nađi recipročnu vrijednost odrednice. Odrednica ove matrice pronađena je u prethodnom odjeljku, pa je nećemo ponovno izračunati. Inverzna odrednica je zapisana na sljedeći način: 1 / (odrednica):
- U našem primjeru, odrednica je 13. Obrnuta vrijednost: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Dobivenu matricu pomnožite s recipročnom vrijednosti odrednice. Pomnožite svaki element nove matrice obrnuto od odrednice. Konačna matrica bit će inverzna od izvorne matrice 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Provjerite jesu li izračuni točni. Da biste to učinili, pomnožite izvornu matricu s inverznom. Ako su izračuni točni, umnožak izvorne matrice po inverzi će dati matricu identiteta: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Ako je test bio uspješan, prijeđite na sljedeći odjeljak.
- U našem primjeru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Za više informacija o množenju matrica pročitajte ovaj članak.
- Napomena: operacija množenja matrica nije komutativna, odnosno redoslijed matrica je važan. No, kada se izvorna matrica pomnoži s inverznom, svaki red vodi do matrice identiteta.
6 Nađi inverz matrice 3 x 3 (ili veće). Ako ste već upoznati s ovim postupkom, bolje je koristiti grafički kalkulator ili poseban softver. Ako trebate ručno pronaći inverznu matricu, postupak je ukratko opisan u nastavku:
- Pridružite se matrici identiteta I s desne strane izvorne matrice. Na primjer, [B] → [B | Ja]. Za matricu identiteta svi elementi glavne dijagonale jednaki su 1, a svi ostali elementi 0.
- Pojednostavite matricu tako da njezina lijeva strana postane stepenasta; nastaviti pojednostavljivati tako da lijeva strana postaje matrica identiteta.
- Nakon pojednostavljenja, matrica će poprimiti sljedeći oblik: [I | B]. Odnosno, njegova desna strana je inverzna od izvorne matrice.

3. dio od 3: Matrično množenje

1 Zapišite dva moguća izraza. Operacija množenja dva skalara je komutativna, to jest 2 x 6 = 6 x 2.To nije slučaj u slučaju množenja matrice, pa ćete možda morati riješiti dva izraza:
- x = [A] * [B] je rješenje jednadžbe x[B] = [A].
- x = [B] * [A] je rješenje jednadžbe [B]x = [A].
- Izvedite svaku matematičku operaciju s obje strane jednadžbe. Ako je [A] = [C] tada [B] [A] ≠ [C] [B] jer je [B] lijevo od [A], ali desno od [C].
2 Odredite veličinu konačne matrice. Veličina konačne matrice ovisi o veličini umnoženih matrica. Broj redaka u konačnoj matrici jednak je broju redaka u prvoj matrici, a broj stupaca u završnoj matrici jednak je broju stupaca u drugoj matrici.
- U našem primjeru veličina obje matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ i ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ je 2 x 2, pa će veličina izvorne matrice biti 2 x 2.
- Razmotrimo složeniji primjer: ako je veličina matrice [A] 4 x 3, a veličina matrice [B] je 3 x 3, tada će konačna matrica [A] * [B] biti 4 x 3.
3 Pronađite vrijednost prvog elementa. Pročitajte ovaj članak ili se sjetite sljedećih osnovnih koraka:
- Da biste pronašli prvi element (prvi redak, prvi stupac) konačne matrice [A] [B], izračunajte proizvod točaka elemenata prvog reda matrice [A] i elemenata prvog stupca matrice [B ]. U slučaju matrice 2 x 2, točkasti umnožak izračunava se na sljedeći način: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- U našem primjeru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Dakle, prvi element konačne matrice bit će element:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Nastavite s izračunavanjem točkastih proizvoda kako biste pronašli svaki element konačne matrice. Na primjer, element koji se nalazi u drugom retku i prvom stupcu jednak je proizvodu točaka drugog reda matrice [A] i prvog stupca matrice [B]. Pokušajte sami pronaći preostale stavke. Trebali biste dobiti sljedeće rezultate:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 i 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Ako trebate pronaći drugo rješenje: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 završi {pmatrix}}}$

Savjeti

Matrica se može podijeliti na skalarnu; za to je svaki element matrice podijeljen skalarom.
- Na primjer, ako matrica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ podijeljeno s 2, dobivate matricu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Upozorenja

Kalkulator ne daje uvijek apsolutno točne rezultate kada je riječ o izračunu matrice. Na primjer, ako kalkulator tvrdi da je stavka vrlo mali broj (poput 2E), vrijednost je najvjerojatnije nula.