Sadržaj

• Kročiti
• Metoda 1 od 2: Prva metoda: Višestruko množenje
• Metoda 2 od 2: Druga metoda: Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) nazivnika
• Savjeti

Racionalna funkcija je razlomak s jednom ili više varijabli u brojniku ili nazivniku. Racionalna jednadžba je svaka jednadžba koja sadrži barem jedan racionalni izraz. Poput uobičajenih algebarskih jednadžbi, i racionalni izrazi mogu se riješiti primjenom iste operacije na obje strane jednadžbe dok varijabla ne bude izolirana na jednoj strani predznaka jednakosti. Dvije posebne metode, križno množenje i pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika nazivnika, posebno su korisne za izoliranje varijabli i rješavanje racionalnih jednadžbi.

Kročiti

Metoda 1 od 2: Prva metoda: Višestruko množenje

1. Ako je potrebno, preuredite jednadžbu kako biste bili sigurni da postoji razlomak na obje strane znaka jednakosti. Unakrsno množenje brza je metoda rješavanja racionalnih jednadžbi. Nažalost, ova metoda djeluje samo za racionalne jednadžbe koje imaju točno jedan racionalni izraz ili razlomak na obje strane predznaka jednakosti. Ako to nije slučaj za vašu jednadžbu, vjerojatno su vam potrebne neke algebarske operacije da biste pojmove postavili na pravo mjesto.
   • Na primjer, jednadžba (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 može se lako pretvoriti u ispravan oblik križnog množenja, dodavanjem x / (- 2) na bilo koju stranu jednadžbe, što rezultira izgleda ovako: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Imajte na umu da se decimale i cijeli brojevi mogu pretvoriti u razlomke davanjem im nazivnika 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, na primjer, može se prepisati kao (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, što omogućuje primjenu unakrsnog množenja.
   • Neke se racionalne jednadžbe ne mogu tako lako pretvoriti u ispravan oblik. U tim slučajevima koristite metode u kojima upotrebljavate najmanji zajednički višekratnik nazivnika.
2. Križno množenje. Križno množenje jednostavno znači množenje brojnika jednog razlomka nazivnikom drugog i obrnuto. Pomnožite brojilac razlomka lijevo od znaka jednakosti s razlomkom zdesna. Ponovite s brojiteljem zdesna i nazivnikom razlomka lijevo.
   • Unakrsno množenje djeluje prema uobičajenim algebarskim načelima. Racionalni izrazi i drugi razlomci mogu se pretvoriti u pravilne brojeve množenjem nazivnika. U osnovi, križno množenje zgodan je stenografski način množenja obje strane jednadžbe s oba nazivnika razlomka. Zar ne vjeruješ? Pokušajte - iste ćete rezultate vidjeti i nakon pojednostavljenja.
3. Neka dva proizvoda budu međusobno jednaka. Nakon križanog množenja ostaju vam dva proizvoda. Neka ta dva pojma budu jednaka i pojednostavite ih da biste dobili najjednostavnije pojmove s obje strane jednadžbe.
   • Na primjer, ako je (x + 3) / 4 = x / (- 2) bio vaš izvorni racionalni izraz, tada nakon križanog množenja postaje jednako -2 (x + 3) = 4x. To se po želji može prepisati kao -2x - 6 = 4x.
4. Riješi za varijablu. Upotrijebite algebarske operacije da biste pronašli vrijednost varijable u jednadžbi. Zapamtite, ako se x pojavljuje na obje strane predznaka jednakosti, dodavanjem ili oduzimanjem člana x osigurajte da na jednoj strani znaka jednakosti ima samo x pojmova.
   • U našem primjeru moguće je obje strane jednadžbe podijeliti s -2, što nam daje x + 3 = -2x. Oduzimanjem x s obje strane predznaka jednakosti dobivamo 3 = -3x. I na kraju, dijeljenjem obje strane s -3 dobivamo -1 = x, ili također x = -1. Sada smo pronašli x koji rješava našu racionalnu jednadžbu.

Metoda 2 od 2: Druga metoda: Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) nazivnika

1. Shvatite kada je očito pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika nazivnika. Najmanje zajednički višekratnik (LCM) nazivnika može se koristiti za pojednostavljivanje racionalnih jednadžbi, što omogućuje pronalaženje vrijednosti njihovih varijabli. Pronalaženje LCM-a dobra je ideja ako se racionalna jednadžba ne može lako prepisati u oblik u kojem je na svakoj strani znaka jednakosti samo jedan razlomak ili racionalni izraz. Za rješavanje racionalnih jednadžbi s tri člana ili više, LCM su koristan alat. Ali za rješavanje racionalnih jednadžbi sa samo dva člana, križno množenje je često brže.
2. Ispitajte nazivnik svakog razlomka. Pronađite najmanji broj koji je potpuno djeljiv s bilo kojim nazivnikom. Ovo je LCM vaše jednadžbe.
   • Ponekad je odmah uočljiv najmanji zajednički višekratnik - najmanji broj koji je potpuno djeljiv sa svakim nazivnikom. Na primjer, ako vaš izraz izgleda kao x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, onda je lako vidjeti da LCM mora biti djeljiv s 3, 2 i 6 i tako jednak 6.
   • Ali češće LCM racionalne usporedbe uopće uopće nije jasan. U tim slučajevima isprobajte višekratnike najvećeg nazivnika dok ne pronađete broj koji uključuje višekratnike ostalih, manjih nazivnika. LCM je često proizvod dvaju nazivnika. Na primjer, uzmimo jednadžbu x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, gdje je LCM jednako 8 * 9 = 72.
   • Ako jedan ili više nazivnika sadrži varijablu, taj će postupak biti nešto teži, ali nikako nije nemoguć. U tim je slučajevima LCM izraz (s varijablama) koji u potpunosti odgovara svim nazivnicima, a ne samo jednom broju. Kao primjer, jednadžba 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), gdje je LCM jednako 3x (x-1), jer je potpuno djeljiv s bilo kojim nazivnikom - dijeljenjem sa (x- 1 ) daje 3x, dijeljenje sa 3x daje (x-1), a dijeljenje x daje 3 (x-1).
3. Pomnožite svaki razlomak u racionalnoj jednadžbi s 1. Množenje svakog pojma s 1 može se činiti beskorisnim, ali ovdje postoji trik. Naime, 1 se može zapisati kao razlomak - npr. 2/2 i 3/3. Pomnožite svaki razlomak u vašoj racionalnoj jednadžbi s 1, svaki put zapisujući 1 kao broj ili pojam pomnožen sa svakim nazivnikom dajući LCM kao razlomak.
   • U našem primjeru možemo pomnožiti x / 3 sa 2/2 da bismo dobili 2x / 6 i pomnožili 1/2 s 3/3 da bismo dobili 3/6. 3x +1/6 već ima nazivnik 6 (lcm), pa ga možemo pomnožiti s 1/1 ili jednostavno ostaviti.
   • U našem primjeru s varijablama u nazivnicima, cijeli je postupak malo složeniji. Budući da je LCM jednak 3x (x-1), množimo svaki racionalni izraz razlomkom koji daje 3x (x-1) kao nazivnik. Množimo 5 / (x-1) sa (3x) / (3x) i to daje 5 (3x) / (3x) (x-1), množimo 1 / x sa 3 (x-1) / 3 (x -1) i to daje 3 (x-1) / 3x (x-1) i množimo 2 / (3x) sa (x-1) / (x-1) i to konačno daje 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Pojednostavite i riješite x. Sada kada svaki pojam u vašoj racionalnoj jednadžbi ima isti nazivnik, moguće je iz jednadžbe eliminirati nazivnike i riješiti brojnike. Jednostavno pomnožite obje strane jednadžbe s LCM da biste se riješili nazivnika tako da vam ostanu samo brojnici. Sada je postala redovita jednadžba koju za varijablu možete riješiti izolirajući je na jednoj strani predznaka jednakosti.
   • U našem primjeru, nakon množenja, koristeći 1 kao razlomak, dobivamo 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dva razlomka mogu se dodati ako imaju isti nazivnik, tako da ovu jednadžbu možemo zapisati kao (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 bez promjene vrijednosti. Pomnožite obje strane sa 6 da biste poništili nazivnike, ostavljajući 2x + 3 = 3x + 1. Ovdje oduzmite 1 s obje strane da ostavite 2x + 2 = 3x i oduzmite 2x s obje strane da biste ostavili 2 = x, što se onda može zapisati i kao x = 2.
   • U našem primjeru s varijablama u nazivnicima, jednadžba nakon množenja svakog pojma s "1" jednaka je 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Množenjem svakog pojma s LCM-om omogućuje se poništavanje nazivnika, što nam sada daje 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Dalje razrađeno, ovo postaje 15x = 3x - 3 + 2x -2, što se može ponovno pojednostaviti kao 15x = x - 5. Oduzimanjem x s obje strane dobije se 14x = -5, tako da se konačni odgovor može pojednostaviti na x = - 5/14.

Savjeti

• Nakon što pronađete vrijednost varijable, provjerite svoj odgovor unosom ove vrijednosti u izvornu jednadžbu. Ako ispravno shvatite vrijednost varijable, trebali biste moći pojednostaviti jednadžbu do jednostavnog, ispravnog teorema, kao što je 1 = 1.
• Svaka jednadžba može se napisati kao racionalan izraz; samo ga postavite kao brojnik iznad nazivnika 1. Dakle, jednadžba x + 3 može se zapisati kao (x + 3) / 1, obje imaju istu vrijednost.