Sadržaj

• Kročiti
• Dio 1 od 4: Izrada matrice
• Dio 2 od 4: Učenje operacija za rješavanje sustava s matricom
• Dio 3 od 4: Spoji korake za rješavanje galaksije
• Dio 4 od 4: Provjera rješenja
• Savjeti

Matrica je vrlo koristan način predstavljanja brojeva u blokovnom formatu, koji zatim možete koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ako imate samo dvije varijable, vjerojatno ćete koristiti drugu metodu. O tome pročitajte u Rješavanju sustava jednadžbi za primjere ovih drugih metoda. Ali ako imate tri ili više varijabli, niz je idealan. Korištenjem ponovljenih kombinacija množenja i zbrajanja možete sustavno doći do rješenja.

Kročiti

Dio 1 od 4: Izrada matrice

1. Provjerite imate li dovoljno podataka. Da biste dobili jedinstveno rješenje za svaku varijablu u linearnom sustavu pomoću matrice, morate imati onoliko jednadžbi koliko je broj varijabli koje pokušavate riješiti. Na primjer: s varijablama x, y i z trebaju vam tri jednadžbe. Ako imate četiri varijable, trebaju vam četiri jednadžbe.
   • Ako imate manje jednadžbi od broja varijabli, otkrit ćete neke granice varijabli (poput x = 3y i y = 2z), ali ne možete dobiti precizno rješenje. U ovom ćemo članku raditi samo na jedinstvenom rješenju.
2. Napišite svoje jednadžbe u standardnom obliku. Prije nego što podatke iz jednadžbi možete staviti u matrični oblik, prvo svaku jednadžbu napišete u standardnom obliku. Standardni oblik linearne jednadžbe je Ax + By + Cz = D, gdje su velika slova koeficijenti (brojevi), a posljednji broj (D u ovom primjeru) nalazi se desno od predznaka jednakosti.
   • Ako imate više varijabli, samo nastavite redak koliko god trebate. Na primjer, ako ste pokušavali riješiti sustav sa šest varijabli, vaš zadani oblik izgledao bi kao Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. U ovom ćemo se članku usredotočiti na sustave sa samo tri varijable. Rješavanje veće galaksije potpuno je isto, ali samo treba više vremena i više koraka.
   • Imajte na umu da je u standardnom obliku operacije između pojmova uvijek dodatak. Ako u vašoj jednadžbi postoji oduzimanje, umjesto zbrajanja, morat ćete kasnije raditi s tim da svoj koeficijent učinite negativnim. Da biste ovo lakše zapamtili, možete prepisati jednadžbu i dodati operaciju te koeficijent učiniti negativnim. Na primjer, jednadžbu 3x-2y + 4z = 1 možete prepisati kao 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Brojeve iz sustava jednadžbi smjestite u matricu. Matrica je skupina brojeva, poredanih u svojevrsnu tablicu, s kojom ćemo raditi na rješavanju sustava. U osnovi sadrži iste podatke kao i same jednadžbe, ali u jednostavnijem formatu. Da biste matricu svojih jednadžbi napravili u standardnom obliku, jednostavno kopirajte koeficijente i rezultat svake jednadžbe u jedan redak i te redove složite jedan na drugi.
   • Pretpostavimo da imate sustav koji se sastoji od tri jednadžbe 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Gornji redak vaše matrice sadržavat će brojeve 3, 1, -1, 9, jer su to koeficijenti i rješenje prve jednadžbe. Imajte na umu da se za svaku varijablu koja nema koeficijent pretpostavlja da ima koeficijent 1. Drugi red matrice postaje 2, -2, 1, -3, a treći red postaje 1, 1, 1, 7.
   • Obavezno poravnajte x koeficijente u prvom stupcu, y koeficijente u drugom, z koeficijente u trećem i pojmove rješenja u četvrtom. Kad završite s radom s matricom, ovi će stupci biti važni prilikom pisanja vašeg rješenja.
4. Nacrtajte veliki kvadratni zagrada oko cijele vaše matrice. Prema dogovoru, matrica je označena parom uglatih zagrada, [], oko cijelog bloka brojeva. Zagrade ni na koji način ne utječu na rješenje, ali ukazuju na to da radite s matricama. Matrica se može sastojati od bilo kojeg broja redaka i stupaca. U ovom ćemo članku koristiti zagrade oko pojmova u nizu kako bismo naznačili da pripadaju zajedno.
5. Upotreba uobičajene simbolike. Kada se radi s matricama, uobičajeno je pozivati ​​se na retke s kraticom R i stupce sa kraticom C. Brojeve uz ova slova možete koristiti za označavanje određenog retka ili stupca. Na primjer, da biste označili redak 1 matrice, možete napisati R1. Red 2 tada postaje R2.
   • Možete naznačiti bilo koji određeni položaj u matrici pomoću kombinacije R i C. Na primjer, da biste označili pojam u drugom retku, trećem stupcu, mogli biste ga nazvati R2C3.

Dio 2 od 4: Učenje operacija za rješavanje sustava s matricom

1. Razumjeti oblik matrice otopine. Prije nego što započnete rješavati svoj sustav jednadžbi, morate razumjeti što ćete raditi s matricom. U ovom trenutku imate matricu koja izgleda ovako:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Radite s nizom osnovnih operacija kako biste stvorili "matricu rješenja". Matrica rješenja izgledat će ovako:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 god
   • 0 0 1 z
   • Imajte na umu da se matrica sastoji od 1 u dijagonalnoj liniji s 0 u svim ostalim razmacima, osim u četvrtom stupcu. Brojevi u četvrtom stupcu rješenje su za varijable x, y i z.
2. Koristite skalarno množenje. Prvi alat koji vam stoji na raspolaganju za rješavanje sustava pomoću matrice je skalarno množenje. Ovo je jednostavno pojam koji znači da množite elemente u redu matrice konstantnim brojem (a ne varijablom). Kada koristite skalarno množenje, imajte na umu da svaki član cijelog retka morate pomnožiti s bilo kojim brojem koji odaberete. Ako zaboravite prvi pojam i samo pomnožite, dobit ćete pogrešno rješenje. Međutim, ne morate istodobno množiti cijelu matricu. U skalarnom množenju istodobno radite samo na jednom retku.
   • Uobičajeno je koristiti razlomke u skalarnom množenju jer često želite dobiti dijagonalni redak 1. Naviknite se raditi s razlomcima. Također će biti lakše (za većinu koraka u rješavanju matrice) biti u mogućnosti napisati svoje razlomke u nepravilnom obliku, a zatim ih pretvoriti u mješovite brojeve za konačno rješenje. Stoga je s brojem 1 2/3 lakše raditi ako ga napišete kao 5/3.
   • Na primjer, prvi redak (R1) našeg primjera problema započinje s pojmovima [3,1, -1,9]. Matrica otopine mora sadržavati 1 na prvom mjestu prvog reda. Da bismo "promijenili" 3 u 1, možemo pomnožiti cijeli redak s 1/3. To stvara novi R1 od [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Svakako ostavite negativne znakove tamo gdje im je mjesto.
3. Upotrijebite dodavanje retka ili oduzimanje redaka. Drugi alat koji možete koristiti je dodavanje ili oduzimanje dva reda matrice. Da biste stvorili 0 pojmova u matrici rješenja, morate dodati ili oduzeti brojeve da biste došli do 0. Na primjer, ako je R1 matrice [1,4,3,2], a R2 je [1,3,5,8], tada možete oduzeti prvi redak od drugog retka i stvoriti novi redak [0, -1, 2.6], jer je 1-1 = 0 (prvi stupac), 3-4 = -1 (drugi stupac), 5-3 = 2 (treći stupac) i 8-2 = 6 (četvrti stupac). Kada izvodite zbrajanje reda ili oduzimanje reda, prepišite novi rezultat umjesto retka s kojim ste započeli. U ovom bismo slučaju izvukli redak 2 i umetnuli novi redak [0, -1,2,6].
   • Možete upotrijebiti skraćeni zapis i tu radnju proglasiti R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Imajte na umu da su zbrajanje i oduzimanje upravo suprotni oblici iste operacije. Zamislite to kao zbrajanje dva broja ili oduzimanje suprotnog. Na primjer, ako započnete s jednostavnom jednadžbom 3-3 = 0, možete to shvatiti kao dodatak 3 + (- 3) = 0. Rezultat je isti. Ovo se čini jednostavno, ali ponekad je lakše problem razmotriti u jednom ili drugom obliku. Samo pripazite na svoje negativne znakove.
4. Kombinirajte zbrajanje redaka i skalarno množenje u jednom koraku. Ne možete očekivati ​​da se uvjeti uvijek podudaraju, tako da možete koristiti jednostavno zbrajanje ili oduzimanje kako biste stvorili 0 u svojoj matrici. Češće ćete morati dodati (ili oduzeti) višekratnik iz drugog retka. Da biste to učinili, prvo napravite skalarno množenje, a zatim dodajte taj rezultat u ciljni redak koji pokušavate promijeniti.
   • Pretpostavimo; da postoji red 1 od [1,1,2,6] i red 2 od [2,3,1,1]. Želite pojam 0 u prvom stupcu R2. Odnosno, želite promijeniti 2 u 0. Da biste to učinili, morate oduzeti 2. Dva možete dobiti tako da prvo pomnožite red 1 skalarnim množenjem 2, a zatim oduzmete prvi red od drugog reda. U kratkom obliku to se može zapisati kao R2-2 * R1. Prvo pomnožite R1 s 2 da biste dobili [2,2,4,12]. Zatim ovo oduzmite od R2 da biste dobili [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Pojednostavite ovo i vaš novi R2 bit će [0,1, -3, -11].
5. Kopirajte retke koji ostaju nepromijenjeni tijekom rada. Dok radite na matrici, mijenjat ćete po jedan redak, skalarnim množenjem, zbrajanjem redaka ili oduzimanjem retka ili kombinacijom koraka. Kada promijenite jedan redak, obavezno kopirajte ostale retke matrice u izvornom obliku.
   • Uobičajena pogreška događa se kada se izvodi kombinirani korak množenja i zbrajanja u jednom potezu. Na primjer, recimo da trebate dva puta oduzeti R1 od R2. Kad pomnožite R1 s 2 da biste izveli ovaj korak, imajte na umu da se R1 ne mijenja u matrici. Množenje radite samo da biste promijenili R2. Prvo kopirajte R1 u izvornom obliku, a zatim izvršite promjenu u R2.
6. Prvo radite od vrha do dna. Da biste riješili sustav, radite na vrlo organiziran način, u biti "rješavajući" jedan po jedan dio matrice. Slijed za niz s tri varijable izgledat će ovako:
   • 1. Napravite 1 u prvom retku, prvom stupcu (R1C1).
   • 2. Napravite 0 u drugom retku, prvom stupcu (R2C1).
   • 3. Napravite 1 u drugom redu, drugi stupac (R2C2).
   • 4. Napravite 0 u trećem redu, prvom stupcu (R3C1).
   • 5. U trećem redu, drugom stupcu (R3C2), napravite 0.
   • 6. Napravite 1 u trećem redu, trećem stupcu (R3C3).
7. Radite od dna do vrha. U ovom trenutku, ako ste korake učinili ispravno, na pola ste rješenja. Morate imati dijagonalnu crtu 1, a ispod nje 0. Brojevi u četvrtom stupcu u ovom trenutku nisu važni. Sada se vratite na vrh kako slijedi:
   • Stvorite 0 u drugom retku, trećem stupcu (R2C3).
   • Stvorite 0 u prvom retku, trećem stupcu (R1C3).
   • Stvorite 0 u prvom retku, drugom stupcu (R1C2).
8. Provjerite jeste li stvorili matricu rješenja. Ako je vaš rad ispravan, stvorili ste matricu rješenja s 1 u dijagonalnoj crti R1C1, R2C2, R3C3 i 0 na ostalim položajima prva tri stupca. Brojevi u četvrtom stupcu rješenja su za vaš linearni sustav.

Dio 3 od 4: Spoji korake za rješavanje galaksije

1. Započnite s primjerom sustava linearnih jednadžbi. Da bismo vježbali ove korake, krenimo sa sustavom koji smo ranije koristili: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Ako ovo napišete u matricu, imate R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] i R3 = [1,1,1,7].
2. Stvorite 1 na prvom položaju R1C1. Imajte na umu da R1 u ovom trenutku započinje s 3. Morate ga promijeniti u 1. To možete učiniti skalarnim množenjem, pomnoživši sva četiri člana R1 s 1/3. Ukratko možete pisati kao R1 * 1/3. To daje novi rezultat za R1 ako je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Kopirajte R2 i R2, nepromijenjeni, kada je R2 = [2, -2,1, -3] i R3 = [1,1,1,7].
   • Imajte na umu da su množenje i dijeljenje samo međusobno obrnute funkcije. Možemo reći da množimo s 1/3 ili dijelimo s 3, bez promjene rezultata.
3. Stvorite 0 u drugom retku, prvom stupcu (R2C1). U ovom trenutku R2 = [2, -2,1, -3]. Da biste se približili matrici rješenja, morate prvi član promijeniti s 2 na 0. To možete učiniti oduzimanjem dvostruke vrijednosti R1, jer R1 započinje s 1. Ukratko, operacija R2-2 R1. Zapamtite, ne mijenjate R1, samo radite s njim. Dakle, prvo kopirajte R1 ako je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Tada ako udvostručite svaki pojam od R1, dobit ćete 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Na kraju, oduzmite ovaj rezultat od izvornog R2 da biste dobili svoj novi R2. Radno od pojma, ovo oduzimanje postaje (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Pojednostavljujemo ih na novi R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Imajte na umu da je prvi pojam 0 (bez obzira na cilj).
   • Red 3 (koji se nije promijenio) napišite kao R3 = [1,1,1,7].
   • Budite oprezni pri oduzimanju negativnih brojeva kako biste bili sigurni da znakovi ostaju točni.
   • Sad prvo ostavimo razlomke u nepravilnom obliku. To olakšava kasnije korake rješenja. Razlomke možete pojednostaviti u posljednjem koraku zadatka.
4. Stvorite 1 u drugom retku, drugom stupcu (R2C2). Da biste nastavili oblikovati dijagonalnu crtu 1, morate pretvoriti drugi član -8/3 u 1. Učinite to množenjem cijelog retka recipročnom vrijednosti tog broja (-3/8). Simbolički je ovaj korak R2 * (- 3/8). Dobiveni drugi red je R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Imajte na umu da ako lijeva polovica retka počne nalikovati rješenju s 0 i 1, desna polovica može početi izgledati ružno, s nepravilnim razlomcima. Samo ih ostavite onakvima kakvi jesu.
   • Ne zaboravite nastaviti kopirati netaknute retke, pa je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R3 = [1,1,1,7].
5. Stvorite 0 u trećem retku, prvom stupcu (R3C1). Vaš fokus se sada pomiče na treći red, R3 = [1,1,1,7]. Da biste napravili 0 na prvom mjestu, morate oduzeti 1 od 1 trenutno na tom položaju. Ako pogledate gore, na prvom mjestu R1 nalazi se 1. Dakle, samo trebate oduzeti R1 od R3 da biste dobili željeni rezultat. Radni pojam za pojam, ovo postaje (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Ova četiri mini problema mogu se zatim pojednostaviti na novi R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Nastavite kopirati duž R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Sjetite se da istovremeno mijenjate samo jedan redak.
6. U trećem redu, drugom stupcu (R3C2), napravite 0. Ova je vrijednost trenutno 2/3, ali mora se pretvoriti u 0. Na prvi pogled izgleda da možete R1 vrijednosti oduzeti dvostruko, jer odgovarajući stupac R1 sadrži 1/3. Međutim, ako udvostručite i oduzmete sve vrijednosti R1, mijenja se 0 u prvom stupcu R3, što ne želite. Ovo bi bio korak natrag u vašem rješenju. Dakle, morate raditi s nekom kombinacijom R2. Oduzimanje 2/3 od R2 stvara 0 u drugom stupcu, bez mijenjanja prvog stupca. U kratkom obliku ovo je R3-2 / 3 * R2. Pojedinačni pojmovi postaju (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Pojednostavljenje tada daje R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Stvorite 1 u trećem redu, trećem stupcu (R3C3). Ovo je jednostavno množenje recipročnom vrijednosti broja koji kaže. Trenutna vrijednost je 42/24, tako da možete pomnožiti s 24/42 da biste dobili vrijednost koju želite 1. Imajte na umu da su prva dva člana 0, pa svako množenje ostaje 0. Nova vrijednost R3 = [0,0,1,1].
   • Imajte na umu da se razlomci koji su se u prethodnom koraku činili prilično složenima već počinju rješavati.
   • Nastavite s R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Imajte na umu da u ovom trenutku imate dijagonalu 1 za vašu matricu rješenja. Da biste pronašli svoje rješenje, morate pretvoriti samo tri elementa matrice u 0.
8. Stvorite 0 u drugom retku, trećem stupcu. R2 je trenutno [0,1, -5 / 8,27 / 8], s vrijednosti -5/8 u trećem stupcu. Morate ga transformirati u 0. To znači da morate izvršiti neku operaciju s R3 koja se sastoji od dodavanja 5/8. Budući da je odgovarajući treći stupac R3 1, morate pomnožiti sve vrijednosti R3 s 5/8 i dodati rezultat R2. Ukratko, ovo je R2 + 5/8 * R3. Pojam za pojam ovo je R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). To se može pojednostaviti na R2 = [0,1,0,4].
   • Zatim kopirajte R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R3 = [0,0,1,1].
9. Stvorite 0 u prvom retku, trećem stupcu (R1C3). Prvi je red trenutno R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Morate pretvoriti -1/3 u trećem stupcu u 0, koristeći neku kombinaciju R3. Ne želite koristiti R2, jer bi 1 u drugom stupcu R2 promijenio R1 na pogrešan način. Dakle, množite R3 * 1/3 i dodajete rezultat u R1. Oznaka za to je R1 + 1/3 * R3. Izraz za razradu pojma rezultira R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). To možete pojednostaviti na novi R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Kopirajte nepromijenjeni R2 = [0,1,0,4] i R3 = [0,0,1,1].
10. U prvom redu, drugom stupcu (R1C2) napravite 0. Ako je sve napravljeno ispravno, ovo bi trebao biti zadnji korak. Morate pretvoriti 1/3 u drugom stupcu u 0. To možete dobiti množenjem i oduzimanjem R2 * 1/3. Ukratko, ovo je R1-1 / 3 * R2. Rezultat je R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Pojednostavljenjem se tada dobiva R1 = [1,0,0,2].
11. Potražite matricu rješenja. U ovom trenutku, ako bi sve prošlo u redu, imali biste tri reda R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] i R3 = [0,0,1,1] morati imati. Imajte na umu da ako ovo napišete u obrazac blok matrice s redovima jedan iznad drugog, imate dijagonalu 1 s 0 dalje, a vaša su rješenja u četvrtom stupcu. Matrica rješenja trebala bi izgledati ovako:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Razumijevanje vašeg rješenja. Nakon pretvorbe linearnih jednadžbi u matricu, x koeficijente stavljate u prvi stupac, y koeficijente u drugi stupac, z koeficijente u treći stupac. Ako želite ponovno prepisati matricu u jednadžbe, ove tri crte matrice zapravo znače tri jednadžbe 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 i 0x + 0y + 1z = 1. Budući da možemo prekrižiti 0 članaka i ne moramo zapisivati ​​koeficijente 1, ove tri jednadžbe pojednostavljuju do rješenja, x = 2, y = 4 i z = 1. Ovo je rješenje vašeg sustava linearnih jednadžbi.

Dio 4 od 4: Provjera rješenja

1. Uključite rješenja u svaku varijablu u svaku jednadžbu. Uvijek je dobra ideja provjeriti je li vaše rješenje zapravo točno. To radite testiranjem rezultata u izvornim jednadžbama.
   • Izvorne jednadžbe za ovaj problem bile su: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Kada zamijenite varijable njihovim vrijednostima koje ste pronašli, dobit ćete 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 i 2 + 4 + 1 = 7.
2. Pojednostavite svaku usporedbu. Izvršite operacije u svakoj jednadžbi prema osnovnim pravilima operacija. Prva jednadžba pojednostavljuje na 6 + 4-1 = 9 ili 9 = 9. Druga jednadžba može se pojednostaviti na 4-8 + 1 = -3 ili -3 = -3. Posljednja jednadžba je jednostavno 7 = 7.
   • Budući da se bilo koja jednadžba pojednostavljuje do prave matematičke tvrdnje, vaša su rješenja točna. Ako je neko od rješenja netočno, ponovno provjerite svoj rad i potražite pogreške. Neke se uobičajene pogreške događaju kad se usput riješimo znakova minus ili zbunimo množenje i zbrajanje razlomaka.
3. Napišite svoja konačna rješenja. Za ovaj zadati problem konačno rješenje je x = 2, y = 4 i z = 1.

Savjeti

• Ako je vaš sustav jednadžbi vrlo složen, s mnogo varijabli, možda ćete moći koristiti grafički kalkulator umjesto da radite ručno. Za informacije o tome, također možete potražiti wikiHow.