Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 3: Izdvajanje korijena kocke jednostavnim primjerom
• Dio 2 od 3: Procjena korijena kocke
• 3. dio od 3: Objašnjenje opisanog procesa izračuna
• Savjeti
• Upozorenja
• Što trebaš

Ako imate kalkulator pri ruci, možete lako izvući korijen kocke bilo kojeg broja. No ako nemate kalkulator ili samo želite impresionirati druge, ručno izvucite korijen kocke. Za većinu ljudi, ovdje opisani proces činit će se prilično kompliciranim, ali s praksom će biti mnogo lakše izvaditi korijene kocke. Prije nego što počnete čitati ovaj članak, sjetite se osnovnih matematičkih operacija i izračuna s brojevima u kocki.

Koraci

1. dio od 3: Izdvajanje korijena kocke jednostavnim primjerom

1. 1 Zapišite zadatak. Ručno vađenje korijena kocke slično je dugoj podjeli, ali s nekim nijansama. Prvo zapišite zadatak u određeni oblik.
   • Zapišite broj iz kojeg želite izvući korijen kocke. Podijelite broj u grupe od tri znamenke i počnite brojati s decimalnom točkom. Na primjer, trebate izdvojiti korijen kocke iz 10. Zapišite broj ovako: 10 000 000. Dodatne nule se koriste za poboljšanje preciznosti rezultata.
   • Nacrtajte znak korijena pored i iznad broja. Zamislite da su ovo vodoravne i okomite crte koje crtate dugim dijeljenjem. Jedina razlika je oblik dvaju likova.
   • Postavite decimalnu točku iznad vodoravne crte. Učinite to izravno iznad decimalnog zareza izvornog broja.
2. 2 Sjetite se rezultata kockanja cijelih brojeva. Oni će se koristiti u izračunima.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Pronađi prvu znamenku odgovora. Odaberite cjelobrojnu kocku koja je najbliža, ali manja od prve skupine od tri znamenke.
   • U našem primjeru prva skupina od tri znamenke je 10. Pronađite najveću kocku koja je manja od 10. Ta kocka je 8, a korijen kocke 8 je 2.
   • Iznad vodoravne crte iznad broja 10 upišite broj 2. Zatim zapišite vrijednost operacije ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 pod 10. Nacrtajte liniju i oduzmite 8 od 10 (kao u dugoj podjeli). Rezultat je 2 (ovo je prvi ostatak).
   • Dakle, pronašli ste prvi broj odgovora. Razmislite je li dati rezultat dovoljno točan. U većini slučajeva ovo će biti vrlo grub odgovor. Kockajte rezultat kako biste saznali koliko je blizu izvornom broju. U našem primjeru: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, što nije jako blizu 10, pa je potrebno nastaviti s izračunima.
4. 4 Pronađi sljedeću znamenku odgovora. Prvom ostatku dodajte drugu skupinu od tri broja i povucite okomitu crtu lijevo od rezultirajućeg broja. Koristeći rezultirajući broj, pronaći ćete drugu znamenku odgovora. U našem primjeru druga grupa od tri znamenke (000) mora se dodati prvom ostatku (2) kako bi se dobio broj 2000.
   • Lijevo od okomite crte upisujete tri broja čiji je zbroj jednak nekom prvom faktoru. Ostavite prazna mjesta za ove brojeve, a između njih stavite znakove plus.
5. 5 Pronađi prvi pojam (od tri). U prvo prazno mjesto upišite rezultat množenja 300 s kvadratom prve znamenke odgovora (napisano je iznad korijenskog znaka). U našem primjeru prva znamenka odgovora je 2, pa je 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. U prvo prazno mjesto upišite 1200. Prvi izraz je 1200 (plus još dva broja za pronalaženje).
6. 6 Pronađi drugu znamenku odgovora. Saznajte koji broj trebate pomnožiti 1200 tako da rezultat bude blizu, ali ne prelazi 2000. Ovaj broj može biti samo 1, budući da je 2 * 1200 = 2400, što je više od 2000. Napišite 1 (druga znamenka odgovor) nakon 2 i decimalnog zareza iznad korijenskog znaka.
7. 7 Pronađi drugi i treći član (od tri). Faktor se sastoji od tri broja (izraza), od kojih ste prvi već pronašli (1200). Sada moramo pronaći preostala dva pojma.
   • Pomnožite 3 sa 10 i svakom znamenkom odgovora (napisani su iznad znaka korijena). U našem primjeru: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Dodajte ovaj rezultat na 1200 i dobijte 1260.
   • Na kraju, kvadrat zadnju znamenku vašeg odgovora. U našem primjeru posljednja znamenka odgovora je 1, pa je 1 ^ 2 = 1. Dakle, prvi faktor je zbroj sljedećih brojeva: 1200 + 60 + 1 = 1261. Napišite ovaj broj lijevo od okomite trake .
8. 8 Množi i oduzima. Pomnožite zadnju znamenku odgovora (u našem primjeru to je 1) s nađenim faktorom (1261): 1 * 1261 = 1261. Napišite ovaj broj ispod 2000 i oduzmite ga od 2000. Dobit ćete 739 (ovo je drugi ostatak).
9. 9 Razmislite je li odgovor koji ste dobili dovoljno točan. Učinite to svaki put kad dovršite sljedeće oduzimanje. Nakon prvog oduzimanja, odgovor je bio 2, što nije točan rezultat. Nakon drugog oduzimanja, odgovor je 2.1.
   • Da biste provjerili točnost odgovora, kockajte ga: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Ako mislite da je odgovor dovoljno točan, ne morate nastaviti s izračunima; u suprotnom, napravite još jedno oduzimanje.
10. 10 Pronađi drugi faktor. Da biste uvježbali svoje izračune i dobili točniji rezultat, ponovite gore navedene korake.
    • Drugom ostatku (739) dodajte treću skupinu od tri znamenke (000). Dobit ćete broj 739000.
    • Pomnožite 300 s kvadratom broja napisanog iznad korijenskog znaka (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Pronađi treću znamenku odgovora. Saznajte koji broj trebate pomnožiti 132300 tako da rezultat bude blizu, ali ne prelazi 739000. Taj broj je 5: 5 * 132200 = 661500. Napišite 5 (treća znamenka odgovora) iza 1 iznad korijenskog znaka.
    • Pomnožite 3 sa 10 sa 21 i posljednjom znamenkom odgovora (napisani su iznad korijenskog znaka). U našem primjeru: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Na kraju, kvadrat zadnju znamenku vašeg odgovora. U našem primjeru posljednja znamenka odgovora je 5, dakle ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Dakle, drugi faktor je: 132300 + 3150 + 25 = 135,475.
11. 11 Pomnožite zadnju znamenku vašeg odgovora s drugim faktorom. Nakon što pronađete drugi faktor i treću znamenku odgovora, postupite na sljedeći način:
    • Zadnju znamenku odgovora pomnožite s nađenim faktorom: 135475 * 5 = 677375.
    • Oduzmite: 739000 - 677375 = 61625.
    • Razmislite je li odgovor koji ste dobili dovoljno točan. Da biste to učinili, kockajte ga: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Zapišite svoj odgovor. Rezultat napisan iznad korijenskog znaka je odgovor s dvije decimale. U našem primjeru korijen kocke 10 je 2,15. Provjerite svoj odgovor kockama: 2,15 ^ 3 = 9,94, što je otprilike 10. Ako vam je potrebna veća preciznost, nastavite izračun (kao što je gore opisano).

Dio 2 od 3: Procjena korijena kocke

1. 1 Pomoću kockica brojeva odredite gornju i donju granicu. Ako trebate izvući korijen kocke gotovo bilo kojeg broja, pronađite kocke (neke brojeve) koje su blizu zadanom broju.
   • Na primjer, trebate izdvojiti korijen kocke 600. Budući da ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ i ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, tada je korijen kocke 600 između 8 i 9. Stoga koristite 512 i 729 kao gornju i donju granicu vašeg odgovora.
2. 2 Procijenite drugi broj. Prvi ste broj pronašli zahvaljujući znanju o kockama cijelih brojeva. Sada pretvorite cijeli broj u decimalni razlomak dodjeljujući mu (iza decimalnog zareza) neku znamenku od 0 do 9. Morate pronaći decimalni razlomak čija će kocka biti blizu, ali manja od izvornog broja.
   • U našem primjeru broj 600 je između 512 i 729. Na primjer, prvom pronađenom broju (8) dodajte broj 5. Dobit ćete broj 8.5.
3. 3 Procijenite rezultirajući broj tako da ga izgradite u kocku. Učinite to kako biste provjerili je li kocka blizu, ali ne veća od izvornog broja.
   • U našem primjeru: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Procijenite drugi broj ako je potrebno. Usporedite kocku dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte ocijeniti manji broj. Ako je kocka dobivenog broja mnogo manja od izvornog broja, procjenjujte velike brojeve sve dok kocka jednog od njih ne pređe izvorni broj.
   • U našem primjeru: ${ displaystyle 8,5 ^ {3}}$ > 600. Dakle, procijenite manji broj 8.4. Kockajte ovaj broj i usporedite ga s izvornim brojem: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Ovaj rezultat je manji od izvornog broja. Dakle, korijen kocke 600 je između 8,4 i 8,5.
5. 5 Procijenite sljedeći broj kako biste poboljšali točnost svog odgovora. Za svaki broj koji ste ocijenili posljednjim, dodajte broj od 0 do 9 dok ne dobijete točan odgovor. U svakom krugu ocjenjivanja morate pronaći gornju i donju granicu između kojih se nalazi izvorni broj.
   • U našem primjeru: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ i ${ displaystyle 8,5 ^ {3} = 614,1}$... Izvorni broj 600 bliži je 592 nego 614. Stoga posljednjem broju koji ste procijenili dodajte znamenku koja je bliža 0 nego 9. Na primjer, ovaj broj je 4. Stoga, raščlanite broj 8.44.
6. 6 Procijenite drugi broj ako je potrebno. Usporedite kocku dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte ocijeniti manji broj. Ukratko, morate pronaći dva broja čije su kocke nešto veće i nešto manje od izvornog broja.
   • U našem primjeru ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Ovo je nešto veće od izvornog broja, pa ocijenite drugi (manji) broj, na primjer 8,43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Dakle, korijen kocke 600 je između 8,43 i 8,44.
7. 7 Slijedite ovaj postupak dok ne dobijete odgovor koji vas zadovoljava. Procijenite sljedeći broj, usporedite ga s izvornikom, zatim po potrebi procijenite drugi broj itd. Imajte na umu da svaka dodatna znamenka iza decimalne točke povećava točnost vašeg odgovora.
   • U našem primjeru kocka broja 8.43 manja je od izvornog broja za manje od 1. Ako vam je potrebna veća preciznost, kockajte broj 8.434 i dobijte to ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$, to jest, rezultat je manji za 0,1 manje od izvornog broja.

3. dio od 3: Objašnjenje opisanog procesa izračuna

1. 1 Sjetite se binomskih nizova. Binomski niz rezultat je podizanja binoma (binoma) na određenu snagu, u ovom slučaju na kocku. Da biste razumjeli ovdje opisani algoritam ekstrakcije korijena kocke, prvo se sjetite kako je binom kocka. Velike su šanse da ste to naučili u školi (i vjerojatno uskoro zaboravili, kao i većina ljudi). Varijable ${ displaystyle A}$ i ${ displaystyle B}$ označite neke jednoznamenkaste znamenke. Tada se dvoznamenkasti broj može zapisati kao binom ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Evo člana ${ displaystyle 10A}$ predstavlja mjesto desetica, odnosno ako ${ displaystyle A}$ Je li onda bilo koji jednoznamenkasti broj ${ displaystyle 10A}$ - ovo je već odgovarajući dvoznamenkasti broj. Na primjer, ako ${ displaystyle A}$ = 2, i ${ displaystyle B}$ = 6, onda ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, to jest, imate dvoznamenkasti broj 26.
2. 2 Kocku binoma. Učinite to kako biste razumjeli postupak ekstrakcije korijena kocke opisan u prvom odjeljku. Izračunati ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (ovdje smo izostavili nekoliko faza izgradnje kocke, kako ne bismo pretrpali članak proračunima).
   • Detaljno objašnjenje možete pronaći ovdje.
3. 3 Razumjeti algoritam duge podjele. Imajte na umu da je ovdje opisana metoda korijena kocke vrlo slična dugoj diobi. Prilikom dijeljenja u stupcu morate pronaći broj (količnik), kada pomnožite s djeliteljem, dobit ćete dividendu. U opisanoj metodi kao kvocijent se koristi rezultat izdvajanja korijena kocke (zapisan je iznad znaka korijena). Odnosno, rezultat izdvajanja korijena kocke može se predstaviti kao binom (10A + B). Točne vrijednosti A i B u ovoj fazi nisu važne: samo zapamtite da se rezultat može zapisati kao binom.
4. 4 Pogledajte binomski raspon. To je zbroj četiri monoma, zahvaljujući kojima možete razumjeti princip rada algoritma ekstrakcije korijena kocke. Imajte na umu da je množitelj za svaki korak izdvajanja korijena jednak zbroju četiri pojma koje je potrebno izračunati i dodati.
   • Faktor za prvi pojam je 1000. Da biste izračunali prvu znamenku odgovora, prvo ćete pronaći kocku cijelog broja koji je najbliži, ali manji od određenog broja (naime prva skupina od tri znamenke). Time se definira 1000A ^ 3 član binomskog niza.
   • Množitelj drugog člana binomskog niza je broj 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Podsjetimo se da su u svakoj fazi ekstrakcije korijena kocke odgovarajuće znamenke (ci) odgovora pomnožene sa 300.
   • Drugi član u svakoj fazi ekstrakcije korijena određen je trećim članom binomskog niza, koji je jednak 30AB ^ 2.
   • Treći član u svakoj fazi ekstrakcije korijena određen je četvrtim članom binomskog niza, koji je jednak B ^ 3.
5. 5 Obratite pozornost na povećanje točnosti odgovora. Što više faza vađenja korijena prođete, odgovor će biti točniji. Na primjer, u ovom članku trebali ste izdvojiti korijen kocke iz 10. U prvoj fazi odgovor je 2, budući da ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, što je blizu, ali manje od 10. U drugoj fazi odgovor je 2,1, jer ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, što je mnogo bliže 10. U trećoj fazi, odgovor je 2,15, budući da ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Izračun možete nastaviti pomoću grupa od tri znamenke kako biste poboljšali točnost svog odgovora.

Savjeti

• Vježbajte svladavanje opisanih metoda. Što više vježbate, brže ćete proći kroz izračune.

Upozorenja

• Vrlo je lako pogriješiti u procesu računanja. Zato svakako provjerite odgovor.

Što trebaš

• Olovka ili olovka
• Papir
• Vladar
• Gumica za brisanje