Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 3: Transponirajte matricu
• Dio 2 od 3: Svojstva transpozicije
• 3. dio 3: Ermitska konjugirana matrica sa složenim elementima
• Savjeti

Naučite li transponirati matrice, bolje ćete razumjeti njihovu strukturu. Možda već znate o kvadratnim matricama i njihovoj simetriji kako biste lakše savladali transpoziciju. Između ostalog, transpozicija pomaže pretvoriti vektore u matrični oblik i pronaći vektorske proizvode. Prilikom rada sa složenim matricama, Hermitove konjugirane (konjugirane-transponirane) matrice mogu vam pomoći u rješavanju različitih problema.

Koraci

1. dio od 3: Transponirajte matricu

1. 1 Uzmi bilo koju matricu. Bilo koja matrica može se transponirati, bez obzira na broj redaka i stupaca. Najčešće je potrebno transponirati kvadratne matrice koje imaju isti broj redaka i stupaca, pa zbog jednostavnosti razmotrite sljedeću matricu kao primjer:
   • matrica A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Zamislite prvi redak izravne matrice kao prvi stupac transponirane matrice. Samo napišite prvi redak kao stupac:
   • transponirana matrica = A
   • prvi stupac matrice A:
     1
     2
     3
3. 3 Učinite isto za ostale redove. Drugi red izvorne matrice postat će drugi stupac transponirane matrice. Prevedi sve retke u stupce:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Pokušajte transponirati matricu koja nije kvadratna. Bilo koja pravokutna matrica može se transponirati na isti način. Samo napišite prvi redak kao prvi stupac, drugi redak kao drugi stupac itd. U donjem primjeru svaki je red izvorne matrice označen vlastitom bojom kako bi bilo jasnije kako se transformira kada se transponira:
   • matrica Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • matrica Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Izrazimo transpoziciju u obliku matematičkog zapisa. Iako je ideja transpozicije vrlo jednostavna, najbolje je zapisati je kao strogu formulu. Zapisivanje matrice ne zahtijeva nikakve posebne izraze:
   • Pretpostavimo da je dana matrica B koja se sastoji od m x n elemenata (m redaka i n stupaca), tada je transponirana matrica B skup n x m elemenata (n redaka i m stupaca).
   • Za svaki element b_xy (crta x i stupac y) matrice B u matrici B postoji ekvivalentan element b_yx (crta y i stupac x).

Dio 2 od 3: Svojstva transpozicije

1. 1 (M = M. Nakon dvostruke transpozicije dobiva se izvorna matrica. To je prilično očito, budući da prilikom ponovnog transponiranja ponovno mijenjate retke i stupce, što rezultira izvornom matricom.
2. 2 Zrcalite matricu oko glavne dijagonale. Kvadratne matrice mogu se "okrenuti" u odnosu na glavnu dijagonalu. Štoviše, elementi duž glavne dijagonale (od a₁₁ do donjeg desnog kuta matrice) ostaju na mjestu, a ostatak elemenata prelazi na drugu stranu ove dijagonale i ostaje na istoj udaljenosti od nje.
   • Ako vam je teško zamisliti ovu metodu, uzmite komad papira i nacrtajte matricu 4x4. Zatim preuredite njegove bočne elemente u odnosu na glavnu dijagonalu. Istodobno, ucrtajte elemente a₁₄ i a₄₁... Kada se transponiraju, moraju se zamijeniti kao i drugi parovi bočnih elemenata.
3. 3 Transponirajte simetričnu matricu. Elementi takve matrice simetrični su oko glavne dijagonale. Ako učinite gornju operaciju i "okrenete" simetričnu matricu, ona se neće promijeniti. Svi će se elementi promijeniti u slične. Zapravo, ovo je standardni način da se utvrdi je li zadana matrica simetrična. Ako vrijedi jednakost A = A, tada je matrica A simetrična.

3. dio 3: Ermitska konjugirana matrica sa složenim elementima

1. 1 Razmotrimo složenu matricu. Elementi složene matrice sastavljeni su od stvarnih i zamišljenih dijelova. Takva se matrica također može transponirati, iako se u većini praktičnih primjena koriste konjugirane-transponirane ili Hermitove konjugirane matrice.
   • Neka je dana matrica C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Zamijenite elemente složenim konjugiranim brojevima. U operaciji složene konjugacije stvarni dio ostaje isti, a zamišljeni dio mijenja svoj znak u suprotno. Učinimo to sa sva četiri elementa matrice.
   • pronaći kompleksnu konjugiranu matricu C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Dobivenu matricu transponiramo. Uzmi pronađenu složenu konjugiranu matricu i jednostavno je transponiraj. Kao rezultat toga, dobivamo konjugirano-transponiranu (Hermitsko-konjugiranu) matricu.
   • konjugirano-transponirana matrica C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Savjeti

• U ovom članku transponirana matrica u odnosu na matricu A označena je kao A. Tu je i oznaka A 'ili Ã.
• U ovom članku, Hermitova konjugirana matrica s obzirom na matricu A označena je kao A, što je uobičajen zapis u linearnoj algebri. U kvantnoj mehanici često se koristi oznaka A.Ponekad je hermitska konjugirana matrica zapisana u obliku A *, ali bolje je izbjegavati ovu oznaku, jer se također koristi za pisanje složene konjugirane matrice.