Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 3: Kako riješiti kubičnu jednadžbu bez stalnog člana
• Metoda 2 od 3: Kako pronaći cijele korijene pomoću množitelja
• Metoda 3 od 3: Kako riješiti jednadžbu pomoću diskriminatora

U kubičnoj jednadžbi najveći eksponent je 3, takva jednadžba ima 3 korijena (rješenja) i ima oblik ${ displaystyle sjekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Neke kubične jednadžbe nije tako lako riješiti, ali ako primijenite pravu metodu (s dobrom teorijskom podlogom), možete pronaći korijene čak i najsloženije kubične jednadžbe - za to upotrijebite formulu za rješavanje kvadratne jednadžbe, cijele korijene ili izračunajte diskriminaciju.

Koraci

Metoda 1 od 3: Kako riješiti kubičnu jednadžbu bez stalnog člana

1. 1 Saznajte postoji li slobodni pojam u kubnoj jednadžbi d{ displaystyle d}. Kubična jednadžba ima oblik ${ displaystyle sjekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Da bi se jednadžba smatrala kubičnom, dovoljno je samo izraz ${ displaystyle x ^ {3}}$ (to jest, možda uopće nema drugih članova).
   • Ako jednadžba ima slobodan izraz ${ displaystyle d}$, upotrijebite drugu metodu.
   • Ako je u jednadžbi ${ displaystyle a = 0}$, nije kubična.
2. 2 Izvadite iz zagrada x{ displaystyle x}. Budući da u jednadžbi nema slobodnog pojma, svaki izraz u jednadžbi uključuje varijablu ${ displaystyle x}$... To znači onaj ${ displaystyle x}$ može se isključiti iz zagrada radi pojednostavljenja jednadžbe. Dakle, jednadžba će biti napisana ovako: ${ displaystyle x (sjekira ^ {2} + bx + c)}$.
   • Na primjer, s obzirom na kubičnu jednadžbu ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Izvaditi ${ displaystyle x}$ zagrade i dobiti ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (proizvod dva binoma) kvadratna jednadžba (ako je moguće). Mnoge kvadratne jednadžbe oblika ${ displaystyle sjekira ^ {2} + bx + c = 0}$ može se faktorizirati. Takva jednadžba će ispasti ako je izvadimo ${ displaystyle x}$ izvan zagrada. U našem primjeru:
   • Izvadite iz zagrada ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Učini faktor kvadratne jednadžbe: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Izjednačite svaku kantu na ${ displaystyle 0}$... Korijeni ove jednadžbe su ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Riješite kvadratnu jednadžbu pomoću posebne formule. Učinite to ako se kvadratna jednadžba ne može faktorisati. Za pronalaženje dva korijena jednadžbe, vrijednosti koeficijenata ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ zamjena u formuli ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • U našem primjeru zamijenite vrijednosti koeficijenata ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) u formulu:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Prvi korijen:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Drugi korijen:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Koristite nula i kvadratne korijene kao rješenja kubične jednadžbe. Kvadratne jednadžbe imaju dva korijena, a kubične tri. Već ste pronašli dva rješenja - to su korijeni kvadratne jednadžbe. Ako stavite "x" izvan zagrada, treće rješenje bi bilo ${ displaystyle 0}$.
   • Izvadite li "x" iz zagrada, dobivate ${ displaystyle x (sjekira ^ {2} + bx + c) = 0}$odnosno dva faktora: ${ displaystyle x}$ i kvadratnu jednadžbu u zagradama. Ako je bilo koji od ovih faktora ${ displaystyle 0}$, cijela je jednadžba također jednaka ${ displaystyle 0}$.
   • Dakle, dva korijena kvadratne jednadžbe rješenja su kubične jednadžbe. Treće rješenje je ${ displaystyle x = 0}$.

Metoda 2 od 3: Kako pronaći cijele korijene pomoću množitelja

1. 1 Provjerite postoji li slobodni izraz u kubnoj jednadžbi d{ displaystyle d}. Ako u jednadžbi oblika ${ displaystyle sjekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ postoji besplatni član ${ displaystyle d}$ (što nije jednako nuli), neće biti uspješno staviti "x" izvan zagrada. U tom slučaju upotrijebite metodu opisanu u ovom odjeljku.
   • Na primjer, s obzirom na kubičnu jednadžbu ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Da biste dobili nulu na desnoj strani jednadžbe, zbrojite ${ displaystyle 6}$ na obje strane jednadžbe.
   • Jednačina će ispasti ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Kao ${ displaystyle d = 6}$, metoda opisana u prvom odjeljku ne može se koristiti.
2. 2 Zapišite faktore koeficijenta a{ displaystyle a} i besplatni član d{ displaystyle d}. To jest, faktore broja pronađite na ${ displaystyle x ^ {3}}$ i brojeve ispred znaka jednakosti. Podsjetimo da su čimbenici broja oni brojevi koji, kada se pomnože, proizvode taj broj.
   • Na primjer, da biste dobili broj 6, morate pomnožiti ${ displaystyle 6 puta 1}$ i ${ displaystyle 2 puta 3}$... Dakle, brojke 1, 2, 3, 6 su faktori broja 6.
   • U našoj jednadžbi ${ displaystyle a = 2}$ i ${ displaystyle d = 6}$... Množitelji 2 su 1 i 2... Množitelji 6 su brojevi 1, 2, 3 i 6.
3. 3 Podijelite svaki faktor a{ displaystyle a} za svaki faktor d{ displaystyle d}. Kao rezultat toga, dobivate puno razlomaka i nekoliko cijelih brojeva; korijeni kubične jednadžbe bit će jedan od cijelih brojeva ili negativna vrijednost jednog od cijelih brojeva.
   • U našem primjeru podijelite čimbenike ${ displaystyle a}$ (1 i 2) po faktorima ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 i 6). Dobit ćete: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ i ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Sada na ovaj popis dodajte negativne vrijednosti dobivenih razlomaka i brojeva: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ i ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Cijeli korijeni kubične jednadžbe neki su brojevi s ovog popisa.
4. 4 Uključite cijele brojeve u kubnu jednadžbu. Ako je jednakost točna, supstituirani broj je korijen jednadžbe. Na primjer, zamijenite u jednadžbi ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, odnosno ne poštuje se jednakost. U tom slučaju priključite sljedeći broj.
   • Zamjena ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Dakle, ${ displaystyle -1}$ je cijeli korijen jednadžbe.
5. 5 Upotrijebite metodu dijeljenja polinoma po Hornerova shemakako bi brže pronašli korijene jednadžbe. Učinite to ako ne želite ručno zamijeniti brojeve u jednadžbi. U Hornerovoj shemi cijeli su brojevi podijeljeni vrijednostima koeficijenata jednadžbe ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ i ${ displaystyle d}$... Ako su brojevi ravnomjerno djeljivi (to jest, ostatak je ${ displaystyle 0}$), cijeli broj je korijen jednadžbe.
   • Hornerova shema zaslužuje zaseban članak, ali sljedeći je primjer izračunavanja jednog od korijena naše kubične jednadžbe pomoću ove sheme:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Dakle, ostatak je ${ displaystyle 0}$, ali ${ displaystyle -1}$ jedan je od korijena jednadžbe.

Metoda 3 od 3: Kako riješiti jednadžbu pomoću diskriminatora

1. 1 Zapišite vrijednosti koeficijenata jednadžbe a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} i d{ displaystyle d}. Preporučujemo da unaprijed zapišete vrijednosti navedenih koeficijenata kako se ne biste zbunili u budućnosti.
   • Na primjer, s obzirom na jednadžbu ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Zapiši ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ i ${ displaystyle d = -1}$... Podsjetimo da ako prije ${ displaystyle x}$ nema broja, odgovarajući koeficijent i dalje postoji i jednak je ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Izračunajte nulti diskriminator pomoću posebne formule. Da biste riješili kubičnu jednadžbu pomoću diskriminatora, morate izvesti niz teških izračuna, ali ako ispravno izvedete sve korake, ova će metoda postati neophodna za rješavanje najsloženijih kubičnih jednadžbi. Prvo izračunavanje ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nula diskriminatora) prva nam je vrijednost potrebna; da biste to učinili, zamijenite odgovarajuće vrijednosti u formuli ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminator je broj koji karakterizira korijene polinoma (na primjer, diskriminator kvadratne jednadžbe izračunava se formulom ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • U našoj jednadžbi:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Izračunajte prvi diskriminator pomoću formule Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Prvi diskriminator ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - ovo je druga važna vrijednost; da biste ga izračunali, uključite odgovarajuće vrijednosti u navedenu formulu.
   • U našoj jednadžbi:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Izračunati:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Odnosno, kroz dobivene vrijednosti pronađite diskriminator kubične jednadžbe ${ displaystyle Delta _ {0}}$ i ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Ako je diskriminator kubične jednadžbe pozitivan, jednadžba ima tri korijena; ako je diskriminator nula, jednadžba ima jedan ili dva korijena; ako je diskriminator negativan, jednadžba ima jedan korijen.
   • Kubična jednadžba uvijek ima najmanje jedan korijen, budući da graf ove jednadžbe siječe os X barem u jednoj točki.
   • U našoj jednadžbi ${ displaystyle Delta _ {0}}$ i ${ displaystyle Delta _ {1}}$ su jednaki ${ displaystyle 0}$, tako da možete lako izračunati ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Dakle, naša jednadžba ima jedan ili dva korijena.

5. 5 Izračunati:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { lijevo ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } desno) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - ovo je posljednja važna količina koja se može pronaći; pomoći će vam izračunati korijene jednadžbe. Zamijenite vrijednosti u navedenoj formuli ${ displaystyle Delta _ {1}}$ i ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • U našoj jednadžbi:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Pronađi tri korijena jednadžbe. Učinite to s formulom ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, gdje ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ali n jednako je 1, 2 ili 3... Zamijenite odgovarajuće vrijednosti u ovoj formuli - kao rezultat dobit ćete tri korijena jednadžbe.
   • Izračunajte vrijednost koristeći formulu na n = 1, 2 ili 3a zatim provjerite odgovor. Ako dobijete 0 kada provjerite svoj odgovor, ova vrijednost je korijen jednadžbe.
   • U našem primjeru zamjena 1 u ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ i dobiti 0, tj 1 jedan je od korijena jednadžbe.