Formuliranje matematičkih dokaza

Sadržaj

Kročiti
Metoda 1 od 3: Razumijevanje problema
Metoda 2 od 3: Strukturiranje dokaza
Metoda 3 od 3: Formuliranje dokaza
Savjeti

Matematički dokazi mogu biti teški, ali s pravim predznanjem iz matematike i strukture dokaza sigurno ih možete uspješno formulirati. Nažalost, ne postoji brz i jednostavan način da naučite kako izraditi dokaze. Potrebni su vam čvrsti temelji u znanju predmeta kako biste došli do ispravnih teza i definicija za logičan razvoj vaših dokaza. Čitajući primjere i vježbajući se, moći ćete svladati vještine matematičkog provjeravanja.

Kročiti

Metoda 1 od 3: Razumijevanje problema

Razumjeti pitanje. Prvo morate točno utvrditi što to pokušavate dokazati. Ovo će pitanje poslužiti i kao konačna teza dokaza. U ovom koraku definirat ćete i pretpostavke s kojima ćete raditi. Identificiranje pitanja i stvaranje potrebnih pretpostavki daje vam polazište za razumijevanje problema i razvijanje dokaza.
Nacrtajte dijagrame. Pokušavajući razumjeti unutarnji rad matematičkog problema, ponekad je najlakše nacrtati dijagram onoga što se događa. Karte su posebno važne u geometrijskim dokazima jer vam omogućuju vizualizaciju onoga što zapravo želite dokazati.
- Pomoću podataka danih u problemu nacrtajte sliku dokaza. Navedi poznanike i nepoznate ljude.
- Kada obrađujete dokaze, upotrijebite potrebne podatke da biste ih potkrijepili.
Proučiti dokaze srodnih teorema. Dokaze je teško naučiti konstruirati, ali izvrstan način da se to nauči je proučavanje srodnih izjava i kako su dokazani.
- Shvatite da je dokaz samo dobar argument gdje je svaki korak potkrijepljen. Možete pronaći mnogo dokaza za proučavanje, kako na mreži tako i u udžbenicima.
Postavljati pitanja. Sasvim je normalno zapeti u dokazu. Pitajte svog učitelja ili kolege iz razreda ako to ne možete shvatiti. Ovi potonji mogu imati slična pitanja i vi možete zajedno surađivati na tim pitanjima. Bolje je postavljati pitanja, a zatim razumjeti, nego slijepo prolaziti kroz dokaze.
- Posavjetujte se sa svojim nastavnikom nakon nastave za dodatna objašnjenja.

Metoda 2 od 3: Strukturiranje dokaza

Definirajte matematičke dokaze. Matematički dokaz je skup logičkih tvrdnji potkrepljenih teoremima i definicijama koji dokazuju ispravnost drugog matematičkog iskaza. Dokazi su jedini način da saznamo je li neka tvrdnja matematički valjana.
- Sposobnost formuliranja matematičkog dokaza ukazuje na temeljno razumijevanje samog problema i svih koncepata koji su uključeni u problem.
- Dokazi vas također prisiljavaju na matematiku gledati na nov i uzbudljiv način. Samo pokušaj da nešto dokažete dat će vam više znanja i uvida o tome, čak i ako se vaši dokazi na kraju ne čine u redu.
Upoznajte svoju publiku. Prije pisanja dokaza morate razmisliti o publici za koju ga pišete i onome što već znaju. Ako napišete dokaz za publikaciju, učinit ćete to drugačije nego za srednjoškolski razred.
- Poznavanje vaše publike omogućuje vam da formulirate dokaze na način koji će razumjeti s obzirom na količinu pozadinskog znanja koje publika ima.
Shvatite vrstu dokaza koje iznosite. Postoji nekoliko različitih vrsta dokaza, a onaj koji odaberete ovisi o vašoj ciljnoj publici i zadatku. Ako niste sigurni koju verziju upotrijebiti, pitajte svog učitelja za savjet. U srednjoj školi od vas se može očekivati da dokaze formulirate u određenom formatu, poput formalnog dokaza u dva stupca.
- Dokaz u dva stupca je struktura u kojoj su podaci i tvrdnje smješteni u jedan stupac, a prateći dokazi uz njega u drugi stupac. Vrlo se često koriste u geometriji.
- Neformalni dokaz paragrafa koristi gramatički ispravne izjave i manje simbola. Na višoj razini uvijek biste trebali koristiti neformalni dokaz.
Ispit napišite u dva stupca kao pregled. Strukturiranje dokaza u dva stupca jednostavan je način da organizirate svoje misli i razmotrite problem. Povucite crtu prema sredini stranice i napišite sve podatke i izjave s lijeve strane. Odgovarajuće definicije / iskaze napišite desno, pored podataka koje podržavaju.
- Na primjer:
- Kut A i kut B čine linearni par. S obzirom.
- Kut ABC je ravan. Definicija pravog kuta.
- Kut ABC je 180 °. Definicija crte.
- Kut A + kut B = kut ABC. Postolje za dodavanje kutova.
- Kut A + kut B = 180 °. Zamjena.
- Kut A kao dodatak kutu B. Definicija dodatnih kutova.
- Q.E.D.
Pretvorite dokaz u dva stupca u neformalni dokaz. Na temelju dokaza u dva stupca, napišite neformalni dokaz kao odlomak bez previše simbola i kratica.
- Na primjer, recimo da su kut A i B linearni parovi. Hipoteza je da se kut A i kut B međusobno nadopunjuju (nadopunjuju se). Kut A i kut B tvore ravnu crtu jer su linearni parovi. Ravna crta definirana je kao kut od 180 °. S obzirom na postulat za zbrajanje kutova, kutovi A i B zajedno tvore pravac ABC. Zamjenom su A i B zajedno 180 °, stoga su dopunski kutovi. Q.E.D.

Metoda 3 od 3: Formuliranje dokaza

Naučite rječnik matematičkih dokaza. Postoje određene izjave i rečenice koje neprestano vidite u matematičkom dokazu. To su fraze koje biste trebali poznavati i biti u stanju koristiti ih u oblikovanju vlastitih dokaza.
- "Ako je A, onda B" znači da morate pokazati da ako je A istina, i B mora biti istina.
- "A ako i samo ako B" znači da morate dokazati da su A i B istinito i netačno u isto vrijeme. Dokažite i "Ako A, onda B" i "ako ne A, onda ne B".
- "A samo ako B" znači isto što i "Ako A, onda B", pa se često ne koristi. Dobro je toga biti svjestan kad naiđete.
- Prilikom dokazivanja trebali biste izbjegavati korištenje "I" u korist "mi".
Zapišite sve podatke. Pri sastavljanju dokaza prvi je korak identificiranje i bilježenje svih podataka. Ovo je najbolje mjesto za početak jer će vam pomoći da razmislite o tome što je poznato i koje su vam informacije potrebne za dovršavanje dokaza. Pročitajte problem i zapišite svaki podatak.
- Na primjer: Dokazati da su dva kuta koja tvore linearni par (kut A i kut B) suplementarna.
- Dano: kut A i kut B čine linearni par
- Dokaz: kut A dopunski je kutu B.
Definirajte sve varijable. Osim pisanja podataka, korisno je definirati sve varijable. Definicije napišite na početku dokaza kako biste izbjegli zabunu kod čitatelja. Ako varijable nisu definirane, čitatelj se lako može izgubiti pokušavajući razumjeti vaše dokaze.
- U dokazima nemojte koristiti varijable koje još nisu definirane.
- Na primjer: Varijable su mjere kuta A i kuta B.
Radite unatrag kroz dokaze. Često je najlakše unazad razmišljati o problemu. Započnite sa zaključkom, što pokušavate dokazati, i razmislite o koracima koji vas mogu vratiti na početak.
- Uredite korake na početku i na kraju da biste vidjeli jesu li slični. Koristite podatke, definicije koje ste naučili i slične dokaze.
- Usput si postavljajte pitanja. „Zašto je to tako?“ I „Postoji li neki način da je ovo lažno?“ Jesu li dobra pitanja za bilo koju izjavu ili tvrdnju.
- Ne zaboravite napisati korake u nizu za konačni dokaz.
- Na primjer: Ako su kutovi A i B dopunski, tada zajedno moraju biti 180 °. Dva ugla zajedno čine liniju ABC. Znate da oni čine liniju zbog definicije linearnih parova. Budući da je ravna crta 180 °, zamjenom možete dokazati da se kut A i kut B zbrajaju do 180 °.
Postavite korake logičnim redoslijedom. Počnite s dokazima na početku i dođite do zaključka. Iako je korisno razmišljati o dokazima, počevši od zaključka i radeći unatrag, prilikom iznošenja stvarnih dokaza zaključak ćete staviti na kraj. Izjave u dokazima trebale bi proizlaziti jedna iz druge, s obrazloženjem svake izjave, tako da nema razloga sumnjati u valjanost vašeg dokaza.
- Započnite s navođenjem pretpostavki s kojima radite.
- Podijelite ih na jednostavne i jasne korake tako da se čitatelj ne mora pitati kako jedan korak logično teče iz drugog.
- Nerijetko se formuliraju višestruki dokazi koncepta. Nastavite s preslagivanjem dok svi koraci ne budu u najlogičnijem redoslijedu.
- Na primjer: započnite s početka.
  - Kut A i kut B čine linearni par.
  - Kut ABC je ravan.
  - Kut ABC je 180 °.
  - Kut A + kut B = kut ABC.
  - Kut A + kut B = 180 °.
  - Kut A dopunski je kutu B.
Izbjegavajte koristiti strelice i kratice u pisanim dokazima. Pri iznošenju plana za dokaz možete koristiti stenografiju i simbole, ali prilikom pisanja konačnog dokaza simboli, poput strelica, mogu zbuniti čitatelja. Umjesto toga upotrijebite riječi poput "tada" ili "tako".
- Iznimke za upotrebu kratica su: npr. (Na primjer) i tj. (Tj.), Ali pazite da ih pravilno upotrebljavate.
Sve tvrdnje potkrijepite teoremom (teoremom), zakonom ili definicijom. Dokazi su onoliko dobri koliko su korišteni dokazi. Ne možete dati izjavu, a da je ne potkrijepite definicijom. Kao primjer pozovite se na druge slične dokaze.
- Pokušajte primijeniti svoje dokaze na slučaj u kojem lažno mora biti i provjeriti je li to stvarno slučaj. Ako rezultat nije lažan, prilagodite dokaz tako da jest.
- Mnogi geometrijski dokazi napisani su kao dokaz u dva stupca, s izjavom i dokazom. Formalni matematički dokaz namijenjen objavljivanju napisan je kao odlomak s ispravnom gramatikom.
Završite zaključkom ili Q.E.D. Konačna izjava dokaza mora biti hipoteza koju ste pokušali dokazati. Nakon što date ovu izjavu, zatvorite dokaz završnim simbolom, kao što je Q.E.D. ili puni kvadrat, koji pokazuje da je dokaz potpun.
- Q.E.D. stoji za "quod erat demonstrandum" (latinski za "ono što je trebalo dokazati").
- Ako niste sigurni jesu li vaši dokazi točni, samo u nekoliko rečenica napišite kakav je vaš zaključak i zašto je važan.