Sadržaj

• Kročiti
• Metoda 1 od 3: Prvi jednostavan zadatak
• Metoda 2 od 3: Izračunavanje očekivane vrijednosti za određeni rezultat
• Metoda 3 od 3: Razumjeti koncept
• Savjeti
• Potrebe

Vrijednost očekivanja statistički je pojam i koncept koji se koristi za odlučivanje koliko će radnja biti korisna ili štetna. Da biste izračunali očekivanu vrijednost, potrebno je dobro razumjeti svaki ishod u određenoj situaciji i povezanu vjerojatnost ili vjerojatnost da će se određeni ishod dogoditi. Sljedeći koraci daju nekoliko primjera vježbi koje će vam pomoći da razumijete koncept vrijednosti očekivanja.

Kročiti

Metoda 1 od 3: Prvi jednostavan zadatak

1. Pročitajte izjavu. Prije nego što počnete razmišljati o svim mogućim ishodima i vjerojatnostima, važno je da razumijete problem. Na primjer igra kockama koja košta 10 eura po igri. Šesterostrana kocka se ubacuje jednom, a vaši dobici ovise o broju koji ubacite. Ako se ubaci 6, dobit ćete 30 €; 5 zarađuje 20 €; bilo koji drugi broj ne daje ništa.
2. Navedi sve moguće ishode. Pomaže u popisu svih mogućih ishoda u datoj situaciji. U gornjem primjeru postoji 6 mogućih ishoda. To su: (1) baci 1 i izgubiš 10 dolara, (2) baci 2 i izgubiš 10 dolara, (3) baci 3 i izgubiš 10 dolara, (4) baci 4 i izgubi 10 dolara , (5) bacite 5 i osvojite 10 dolara, (6) bacite 6 i osvojite 20 dolara.
   • Imajte na umu da je svaki ishod za 10 eura manji od gore opisanog, jer ćete prvo morati platiti 10 eura po utakmici, bez obzira na ishod.
3. Odredite vjerojatnost svakog ishoda. U ovom je slučaju vjerojatnost bilo kojih 6 ishoda jednaka. Vjerojatnost valjanja slučajnog broja je 1 prema 6. Da bismo to lakše zapisali, razlomak (1/6) zapisat ćemo u decimalu pomoću kalkulatora: 0,167. Napiši ovu vjerojatnost pored svakog ishoda, pogotovo ako želiš riješiti problem s različitim vjerojatnostima za svaki ishod.
   • Vaš kalkulator 1/6 može stvoriti nešto poput 0,166667. Zaokružujemo ovo na 0,167 kako bismo olakšali izračunavanje bez žrtvovanja točnosti.
   • Ako želite vrlo točan rezultat, nemojte ga pretvarati u decimalu, samo unesite 1/6 u formulu i izračunajte ga na kalkulatoru.
4. Zabilježite vrijednost svakog ishoda. Pomnožite $ rezultata s vjerojatnošću da će se rezultat dogoditi kako biste izračunali koliko će novca taj rezultat pridonijeti očekivanoj vrijednosti. Na primjer, rezultat kotrljanja 1 je - 10 USD, a vjerojatnost valjanja 1 je 0,167. Vrijednost bacanja 1 stoga je (-10) * (0,167).
   • Nema potrebe za izračunavanjem ovih rezultata sada ako imate kalkulator koji može istodobno izvoditi više operacija. Točniji rezultat dobit ćete ako unesete cijelu jednadžbu.
5. Dodajte vrijednost svakog ishoda da biste dobili očekivanu vrijednost događaja. Da nastavimo sa gornjim primjerom, vrijednost očekivanja igre kockicama iznosi: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), ili - 1,67 €. Dakle, možete očekivati ​​da ćete izgubiti 1,67 dolara svaki put na ovoj igri (po igri).
6. Koje su implikacije izračunavanja očekivane vrijednosti. U gornjem primjeru utvrdili smo da bi očekivana dobit (gubitak) bila - 1,67 € po bacanju. Ovo je nemoguć ishod za 1 utakmicu; možete izgubiti 10 €, osvojiti 10 € ili osvojiti 20 €. No, dugoročno gledano, očekivana vrijednost je korisna, prosječna vjerojatnost. Ako nastavite igrati ovu igru, u prosjeku ćete izgubiti oko 1,67 dolara po igri. Drugi način razmišljanja o očekivanoj vrijednosti jest dodjeljivanje određenih troškova (ili koristi) igri; ovu igru ​​trebali biste igrati samo ako vam se isplati, uživajte u njoj dovoljno da svaki put na nju potrošite 1,67 dolara.
   • Što se situacija češće ponavlja, točnija je očekivana vrijednost prikaz stvarnog, prosječnog ishoda. Na primjer, možda igrate igru ​​5 puta zaredom i svaki put gubite, što rezultira prosječnim gubitkom od 10 dolara. Međutim, ako igru ​​igrate još 1000 puta, prosječni rezultat sve će se više približavati očekivanoj vrijednosti od - 1,67 € po utakmici. Ovo se načelo naziva "zakon velikih brojeva".

Metoda 2 od 3: Izračunavanje očekivane vrijednosti za određeni rezultat

1. Ovom metodom izračunajte prosječni broj kovanica koje trebate okrenuti prije nego što se dogodi određeni uzorak. Na primjer, metodom možete saznati očekivani broj kovanica koje će se okretati sve dok dvaput zaredom ne dobijete glave. Ovaj je problem malo zamršeniji od standardnog problema s vrijednostima očekivanja, pa prvo pročitajte gornji dio ovog članka ako niste upoznati s pojmom vrijednosti očekivanja.
2. Pretpostavimo da tražimo vrijednost x. Pokušavate utvrditi koliko kovanica u prosjeku morate okrenuti da biste dobili dvije glave zaredom. Sada radimo usporedbu kako bismo pronašli odgovor. Odgovor koji tražimo nazivamo x. Potrebnu usporedbu radimo korak po korak. Trenutno imamo sljedeće:
   • x = ___
3. Razmislite što se događa ako prvo okretanje proizvede novčić. To će biti slučaj u polovici slučajeva. Ako je to slučaj, "izgubili" ste prevrtanje, dok se šansa da dvaput zaredom prevrnete glavom nije promijenila. Kao i kod bacanja novčića, očekuje se da ćete morati baciti prosječan broj puta prije nego što dvaput zaredom dobijete glavu. Drugim riječima, očekivali biste da ćete se baciti x puta, plus oni koje ste već igrali. U obliku jednadžbe:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Ispunit ćemo prazan prostor dok nastavljamo razmišljati o drugim situacijama.
   • Možete koristiti razlomke umjesto decimala ako je to lakše ili potrebno.
4. Razmislite o tome što se događa kad bacite glavu. Postoji 0,5 (ili 1/2) šanse da ćete prvi put baciti šalicu. Čini se da se ovo približava cilju bacanja glave dva puta zaredom, ali koliko? Najlakši način da to saznate je razmisliti o svojim mogućnostima na drugom kolu:
   • Ako je drugo bacanje novčić, vratili smo se na početak.
   • Ako je i drugi put šalica, onda smo gotovi!
5. Naučite kako izračunati vjerojatnost da će se oba događaja dogoditi. Sada znamo da imate 50% šanse da ćete baciti šalicu, no kakva je šansa da ćete šalicu baciti dva puta zaredom? Da biste izračunali ovu vjerojatnost, pomnožite vjerojatnost obje. U ovom slučaju to je 0,5 x 0,5 = 0,25. Naravno, ovo je i šansa da ćete zakotrljati glave, a zatim i repove, jer obje imaju šansu da se pojave 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Jednadžbi dodajte rezultat za "glave, pa repovi". Sad kad smo izračunali vjerojatnost da će se taj događaj dogoditi, možemo prijeći na širenje jednadžbe. Postoji 0,25 (ili 1/4) šanse da ćemo baciti bacanje dva puta bez kretanja naprijed. Ali sada nam još uvijek treba x više bacanja u prosjeku da bismo dobili rezultat koji želimo dobiti, plus 2 koja smo već bacili. U obliku jednadžbe to postaje (0,25) (x + 2), što sada možemo dodati jednadžbi:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Jednadžbi dodajte rezultat za "heading, heading". Ako se okrenete glavom, glavom s prva dva bacanja novčića, gotovi ste. Rezultat ste dobili u točno 2 bacanja. Kao što smo ranije primijetili, postoji 0,25 šanse da se to dogodi, pa je jednadžba za to (0,25) (2). Naša je usporedba sada završena:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Ako niste sigurni da ste razmislili o svim mogućim situacijama, postoji jednostavan način da provjerite je li jednadžba dovršena. Prvi broj u svakom dijelu jednadžbe predstavlja vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj. To će uvijek zbrojiti 1. Ovdje je 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, tako da znamo da smo uključili svaku situaciju.
8. Pojednostavite jednadžbu. Olakšajmo jednadžbu množenjem. Zapamtite, ako vidite nešto u zagradama poput ove: (0,5) (x + 1), tada množite 0,5 sa svakim pojmom koji se nalazi u drugom skupu zagrada. To vam daje sljedeće: 0,5x + (0,5) (1) ili 0,5x + 0,5. Učinimo to za svaki pojam u jednadžbi, a zatim kombiniramo ove pojmove tako da sve izgleda malo jednostavnije:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Riješiti za x. Kao i u bilo kojoj jednadžbi, morat ćete izolirati x na jednoj strani jednadžbe da biste ga izračunali. Zapamtite, x znači "prosječan broj kovanica koje trebate baciti da biste dobili glave dvaput zaredom." Kada smo izračunali x, pronašli smo i svoj odgovor.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • U prosjeku ćete morati baciti novčić 6 puta prije nego što dvaput bacite glave.

Metoda 3 od 3: Razumjeti koncept

1. Što je zapravo očekivana vrijednost. Vrijednost očekivanja nije nužno najočitiji ili logičan rezultat. Ponekad vrijednost očekivanja može biti čak i nemoguća vrijednost u datoj situaciji. Na primjer, vrijednost očekivanja može biti + 5 EUR za igru ​​s nagradom koja ne prelazi 10 EUR. Ono što vrijednost očekivanja ukazuje je koliko vrijednost ima određeni događaj. Ako igra ima očekivanu vrijednost od + 5 €, tada je možete igrati ako smatrate da vrijedi vremena i novca koji možete dobiti po igri. Ako druga igra ima očekivanu vrijednost - 20 dolara, tada je igrate samo ako mislite da svaka igra vrijedi 20 dolara.
2. Razumjeti koncept neovisnih događaja. U svakodnevnom životu mnogi od nas misle da imamo sretan dan kada se dogode neke dobre stvari i očekujemo da će ostatak dana ići tim putem.Na isti način možemo pomisliti da nam je dosta nesreće i da sada zaista treba učiniti nešto zabavno. Matematički stvari ne idu tako. Ako bacite obični novčić, postoji potpuno ista šansa da ćete baciti glavu ili novčić. Nije važno koliko ste puta već bacili; sljedeći put kad bacite i dalje djeluje na isti način. Bacanje novčića je "neovisno" od ostalih bacanja, to na njega ne utječe.
   • Uvjerenje da možete imati sreće ili nesreće prilikom bacanja novčića (ili bilo koje druge igre na sreću), ili Činjenica da je sva vaša loša sreća sada završila i sreća je na vašoj strani naziva se i varanje kockara (ili zabluda kockara). To je povezano s tendencijom ljudi da donose rizične ili glupe odluke kad osjećaju da je sreća na njihovoj strani ili ako osjećaju "sreću" ili ako osjećaju da će se "sreća okrenuti". "
3. Razumjeti zakon velikih brojeva. Mogli biste pomisliti da vrijednost očekivanja zapravo nije korisna, jer vam rijetko govori kakav je stvarni ishod situacije. Ako ste izračunali da je očekivana vrijednost igre ruleta - 1 €, a igru ​​igrate 3 puta, obično ćete na kraju dobiti - 10 € ili + 60 € ili neki drugi rezultat. "Zakon velikih brojeva" pomaže objasniti zašto je vrijednost očekivanja korisnija nego što mislite: što više igrate, to će prosječni rezultat biti bliži vrijednosti očekivanja. Kada pogledate velik broj događaja, velika je vjerojatnost da je konačni rezultat blizu očekivane vrijednosti.

Savjeti

• Za one situacije u kojima je moguće više ishoda, na računalu možete stvoriti proračunsku tablicu za izračunavanje očekivane vrijednosti pomoću ishoda i njihove vjerojatnosti.
• Gornji izračuni eura također rade u drugim valutama.

Potrebe

• Olovka
• Papir
• Kalkulator