Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 3: Razumijevanje kvadrata brojeva i kvadratnih korijena
• Dio 2 od 3: Korištenje algoritma duge podjele
• Dio 3 od 3: Brzo prebrojavanje nepotpunih kvadrata
• Savjeti

Iako zastrašujući izgled simbola kvadratnog korijena može natjerati nekoga tko nije dobar u matematici da se zgrozi, problemi s kvadratnim korijenom nisu tako teški kao što se u početku može činiti. Jednostavni problemi s kvadratnim korijenom često se mogu riješiti jednako lako kao i uobičajeni problemi množenja ili dijeljenja. S druge strane, složeniji zadaci mogu zahtijevati određeni napor, ali s pravim pristupom ni oni vam neće biti teški. Počnite rješavati root danas da biste naučili ovu radikalno novu matematičku vještinu!

Koraci

1. dio od 3: Razumijevanje kvadrata brojeva i kvadratnih korijena

1. 1 Broj na kvadrat pomnožite sam sa sobom. Da biste razumjeli kvadratne korijene, najbolje je početi s kvadratom brojeva. Kvadriranje brojeva je prilično jednostavno: kvadratovanje broja znači pomnožiti ga samo po sebi. Na primjer, 3 na kvadrat je isto što i 3 × 3 = 9, a 9 na kvadrat je isto što i 9 × 9 = 81. Kvadrati su označeni upisivanjem malog broja “2” desno iznad kvadratnog broja. Primjer: 3, 9, 100 itd.
   • Pokušajte sami kvadrirati još nekoliko brojeva da biste isprobali ovaj koncept. Upamtite, kvadriranje broja znači da se broj treba pomnožiti sam sa sobom. To se može učiniti čak i za negativne brojeve. U tom slučaju rezultat će uvijek biti pozitivan. Na primjer: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Što se tiče kvadratnih korijena, proces je obrnut na kvadrat. Simbol korijena (√, koji se naziva i radikal) u biti znači suprotnost simbolu. Kad vidite radikala, morate se zapitati: "Koji se broj može sam pomnožiti da bi se dobio broj pod korijenom?" Na primjer, ako vidite √ (9), tada morate pronaći broj koji bi na kvadrat dao broj devet. U našem slučaju taj bi broj bio tri jer je 3 = 9.
   • Razmotrite drugi primjer i pronađite korijen 25 (√ (25)). To znači da moramo pronaći broj koji bi nam dao 25 ​​na kvadrat. Budući da je 5 = 5 × 5 = 25, možemo reći da je √ (25) = 5.
   • Ovo također možete smatrati "poništavanjem" kvadrature. Na primjer, ako moramo pronaći √ (64), kvadratni korijen od 64, tada zamislimo ovaj broj kao 8. Budući da simbol korijena "poništava" kvadriranje, možemo reći da je √ (64) = √ (8 ) = 8.
3. 3 Znati razliku između savršenog i nesavršenog kvadrata. Do sada su odgovori na naše probleme s root -om bili dobri i okrugli brojevi, ali to nije uvijek tako. Odgovori na probleme s kvadratnim korijenom mogu biti vrlo dugi i neugodni decimalni brojevi. Brojevi čiji je korijen cijeli broj (drugim riječima, brojevi koji nisu razlomci) nazivaju se savršeni kvadrati. Svi gornji primjeri (9, 25 i 64) savršeni su kvadrati jer će njihov korijen biti cijeli broj (3,5 i 8).
   • S druge strane, brojevi koji, kad se dovedu do korijena, ne daju cijeli broj, nazivaju se nepotpuni kvadrati. Ako jedan od ovih brojeva stavite pod korijen, dobit ćete broj s decimalnim razlomom. Ponekad ovaj broj može biti prilično dug. Na primjer, √ (13) = 3,605551275464 ...
4. 4 Zapamtite prvih 1-12 potpunih kvadrata. Kao što ste vjerojatno već primijetili, pronalaženje korijena potpunog kvadrata prilično je jednostavno! Budući da su ti zadaci tako jednostavni, vrijedno je sjetiti se korijena prvih desetaka potpunih kvadrata. Na ove ćete brojke naići više puta, stoga odvojite malo vremena da ih zapamtite rano i uštedite vrijeme u budućnosti.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Pojednostavite korijene uklanjanjem punih kvadrata ako je moguće. Pronalaženje korijena nepotpunog kvadrata ponekad može biti teško, pogotovo ako ne koristite kalkulator (pogledajte donji odjeljak za nekoliko trikova kako biste olakšali ovaj proces). Međutim, često možete pojednostaviti broj ispod korijena kako biste olakšali rad. Da biste to učinili, samo trebate faktorirati broj ispod korijena, a zatim pronaći korijen faktora, koji je savršen kvadrat, i zapisati ga izvan korijena. Ovo je lakše nego što zvuči.Čitajte dalje za više informacija.
   • Recimo da moramo pronaći kvadratni korijen od 900. Na prvi pogled ovo se čini kao prilično zastrašujući zadatak! Međutim, neće biti tako teško ako broj 900 podijelimo na faktore. Množitelji su brojevi koji se međusobno množe kako bi dobili novi broj. Na primjer, broj 6 može se dobiti množenjem 1 × 6 i 2 × 3, njegovi će faktori biti brojevi 1, 2, 3 i 6.
   • Umjesto da tražimo korijen 900, što je malo zeznuto, napišimo 900 kao 9 × 100. Sada kada je 9, što je savršen kvadrat, odvojen od 100, možemo pronaći njegov korijen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Drugim riječima, √ (900) = 3√ (100).
   • Možemo ići čak i dalje dijeljenjem 100 s dva faktora, 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Dakle, možemo reći, da je √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Pomoću imaginarnih brojeva pronađite korijen negativnog broja. Zapitajte se koji će broj, pomnožen sam sa sobom, dati -16? To nije 4 ili -4, budući da ćemo kvadriranjem tih brojeva dobiti pozitivan broj 16. Odustati? Zapravo, ne postoji način da se korijen -16 ili bilo koji drugi negativni broj napiše normalnim brojevima. U tom slučaju moramo zamijeniti zamišljene brojeve (obično u obliku slova ili simbola) tako da se pojave umjesto korijena negativnog broja. Na primjer, varijabla "i" obično se koristi za korijen -1. U pravilu, korijen negativnog broja uvijek će biti imaginarni broj (ili uključen u njega).
   • Budite svjesni da iako se imaginarni brojevi ne mogu predstaviti običnim brojevima, oni se ipak mogu tretirati kao takvi. Na primjer, kvadratni korijen negativnog broja može se kvadrirati kako bi se tim negativnim brojevima, kao i svakom drugom, dao kvadratni korijen. Na primjer, i = -1

Dio 2 od 3: Korištenje algoritma duge podjele

1. 1 Zapišite problem s korijenom kao problem duge podjele. Iako ovo može potrajati, na ovaj način možete riješiti nepotpuni problem kvadratnog korijena bez pribjegavanja kalkulatoru. Da bismo to učinili, upotrijebit ćemo metodu rješenja (ili algoritam) koja je slična (ali nije potpuno ista) redovitoj dugoj podjeli.
   • Prvo zapišite problem s korijenom u isti oblik kao i za dugu podjelu. Pretpostavimo da želimo pronaći kvadratni korijen od 6.45, što i nije baš savršen kvadrat. Prvo ćemo napisati uobičajeni kvadratni simbol, a zatim ćemo ispod njega upisati broj. Zatim ćemo povući crtu iznad broja tako da se pojavi u maloj "kutiji", baš kao u dugoj podjeli. Nakon toga imamo korijen s dugim repom i brojem 6,45 ispod njega.
   • Upisat ćemo brojeve iznad korijena, stoga svakako ostavite malo prostora tamo.
2. 2 Grupirajte brojeve u parove. Da biste započeli s rješavanjem problema, morate grupirati znamenke broja pod radikalom u parove, počevši od decimalne točke. Ako želite, možete napraviti male oznake (poput točkica, kosih linija, zareza itd.) Kako biste izbjegli zabunu.
   • U našem primjeru moramo upariti broj 6.45 na sljedeći način: 6-, 45-00. Imajte na umu da se s lijeve strane nalazi "preostala" znamenka - to je normalno.
3. 3 Pronađi najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak prvoj "skupini". Počnite s prvim brojem ili parom s lijeve strane. Odaberite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak preostaloj "skupini". Na primjer, da je grupa 37, odabrali biste broj 6 jer je 6 = 36 37 i 7 = 49> 37. Napišite ovaj broj iznad prve skupine. Ovo će biti prvi broj u vašem odgovoru.
   • U našem primjeru prva grupa na 6-, 45-00 bit će broj 6. Najveći broj koji je manji ili jednak 6 u kvadratu je 2 = 4. Napišite broj 2 iznad broja 6 pod korijenom .
4. 4 Udvostručite broj koji ste upravo napisali, zatim ga iskorijenite i oduzmite. Uzmite prvu znamenku vašeg odgovora (broj koji ste upravo pronašli) i udvostručite ga. Zapišite rezultat u svoju prvu skupinu i oduzmite kako biste pronašli razliku. Ispustite sljedećih nekoliko brojeva pored odgovora. Na kraju, s lijeve strane napišite posljednju dvoznamenkastu prvu znamenku vašeg odgovora i ostavite razmak pored nje.
   • U našem primjeru počet ćemo udvostručenjem broja 2, koji je prvi broj u našem odgovoru. 2 × 2 = 4.Zatim oduzimamo 4 od 6 (naša prva "grupa"), dobivajući 2. Zatim izostavljamo sljedeću skupinu (45) da bismo dobili 245. I na kraju, s lijeve strane, ponovno ćemo napisati broj 4, ostavljajući mali prostor na kraj, evo ovako: 4_
5. 5 Molimo ispunite prazno mjesto. Zatim morate dodati znamenku s desne strane snimljenog broja, koja je s lijeve strane. Odaberite znamenku, množeći koju s novim brojem, dobit ćete najveći mogući rezultat, ali koji bi bio manji ili jednak "izostavljenom" broju. Na primjer, ako je vaš "izostavljeni" broj 1700, a vaš broj s lijeve strane 40_, trebate upisati broj 4 u razmak, budući da je 404 × 4 = 1616 1700, dok je 405 × 5 = 2025. Pronađena je znamenka u ovom koraku i bit će druga znamenka vašeg odgovora, pa je možete napisati iznad korijenskog znaka.
   • U našem primjeru moramo pronaći broj i zapisati ga u razmake 4_ × _, što će odgovor učiniti što je moguće većim, ali ipak manjim ili jednakim 245. U našem slučaju, to je 5. 45 × 5 = 225, dok je 46 × 6 = 276
6. 6 Nastavite koristiti prazne brojeve da biste pronašli odgovor. Nastavite rješavati ovu izmijenjenu dugu podjelu sve dok ne počnete dobivati ​​nule kada oduzmete "izostavljeni" broj ili dok ne dobijete željenu razinu preciznosti. Kad završite, brojevi koje ste upotrijebili za popunjavanje praznina u svakom koraku (plus prvi broj) činit će broj u vašem odgovoru.
   • Nastavljajući s našim primjerom, oduzimamo 225 od 245 da bismo dobili 20. Zatim ispuštamo sljedeći par brojeva 00 kako bismo dobili 2000. Udvostručimo broj iznad korijenskog znaka. Dobivamo 25 × 2 = 50. Rješavajući primjer s razmacima, 50_ × _ = / 2.000, dobivamo 3. U ovoj fazi imat ćemo 253 napisano iznad radikala, a ponavljajući ovaj postupak naš sljedeći broj bit će 9 .
7. 7 Pomaknite decimalnu točku naprijed od izvornog broja dividende. Da biste dovršili svoj odgovor, decimalnu točku morate staviti na točno mjesto. Srećom, to je prilično lako učiniti. Sve što trebate učiniti je poravnati ga s izvornom brojčanom točkom. Na primjer, ako je broj 49,8 ispod korijena, morat ćete staviti točku između dva broja iznad devetke i osam.
   • U našem primjeru ispod radikala ima 6,45, pa samo premjestimo točku i stavimo je između brojeva 2 i 5 u našem odgovoru i dobijemo odgovor jednak 2,539.

Dio 3 od 3: Brzo prebrojavanje nepotpunih kvadrata

1. 1 Prebrojavanjem pronađite nepotpune kvadrate. Nakon što zapamtite potpune kvadrate, pronalaženje korijena nepotpunih kvadrata postaje mnogo lakše. Budući da već znate desetak savršenih kvadrata, bilo koji broj koji se nalazi u području između ta dva potpuna kvadrata može se pronaći smanjenjem svega na grubo brojanje između ovih vrijednosti. Počnite tako što ćete pronaći dva potpuna kvadrata s vašim brojem između. Zatim odredite kojem od ovih brojeva je vaš broj bliži.
   • Na primjer, pretpostavimo da moramo pronaći kvadratni korijen od 40. Budući da smo zapamtili savršene kvadrate, možemo reći da je 40 između 6 i 7 ili 36 i 49. Budući da je 40 veće od 6, njegov će korijen biti veći od 6 , a budući da je manji od 7, i njegov će korijen biti manji od 7. 40 je nešto bliže 36 nego 49, pa će odgovor vjerojatno biti bliže 6. U sljedećih nekoliko koraka suzit ćemo odgovor.
2. 2 Prebrojte kvadratni korijen do prvog decimalnog mjesta. Nakon što odaberete dva potpuna kvadrata između kojih je vaš broj, sve se svodi na vaše brojanje sve dok ne dobijete željeni odgovor. Što više računate, vaš će odgovor biti točniji. Počnite odabirom mjesta gdje ćete staviti decimalnu točku u odgovor. Ne mora biti točno, ali uštedjet ćete vrijeme ako koristite logiku i stavite točku što bliže točnom odgovoru.
   • U našem primjeru, razumna procjena kvadratnog korijena od 40 mogla bi biti 6,4, budući da iz gornjih podataka znamo da je odgovor bliži 6 nego 7.
3. 3 Pomnožite približni broj sam po sebi. Sljedeće što trebate učiniti je približiti približni broj. Najvjerojatnije nećete imati sreće i nećete dobiti izvorni broj. Bit će ili nešto veći ili nešto manji.Ako je vaš rezultat previsok, pokušajte ponovno, ali s nešto nižom procjenom (i obrnuto ako je rezultat prenizak).
   • Pomnožite 6,4 samo po sebi i dobit ćete 6,4 x 6,4 = 40,96, što je nešto više od izvornog broja.
   • Budući da se naš odgovor pokazao većim, trebali bismo broj pomnožiti za desetinu manje s približnim i dobiti sljedeće: 6,3 × 6,3 = 39,69. To je nešto manje od izvornog broja. To znači da je kvadratni korijen od 40 između 6,3 i 6,4. Opet, budući da je 39,69 bliže 40 nego 40,96, znamo da će kvadratni korijen biti bliži 6,3 nego 6,4.
4. 4 Nastavite računati. U ovom trenutku, ako ste zadovoljni svojim odgovorom, možete jednostavno pretpostaviti prvo što pogodite. Međutim, ako želite točniji odgovor, sve što trebate učiniti je odabrati približnu vrijednost s dvije decimale koja tu približnu vrijednost stavlja između prva dva broja. Nastavljajući ovo brojanje, za svoj odgovor možete dobiti tri, četiri ili više decimalnih mjesta. Sve ovisi o tome koliko daleko želite ići.
   • Za naš primjer, uzmimo 6,33 kao približnu vrijednost s dvije decimale. Pomnožite 6,33 samo po sebi da biste dobili 6,33 × 6,33 = 40,0689. budući da je to nešto veće od našeg broja, uzet ćemo manji broj, na primjer 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Ovaj je odgovor nešto manji od našeg broja, pa znamo da je točan kvadratni korijen između 6,32 i 6,33. Da želimo nastaviti, nastavili bismo koristiti isti pristup kako bismo dobili odgovor koji postaje sve točniji.

Savjeti

• Za brzo pronalaženje rješenja upotrijebite kalkulator. Većina modernih kalkulatora može odmah pronaći kvadratni korijen broja. Sve što trebate učiniti je unijeti svoj broj, a zatim kliknuti gumb root. Na primjer, da biste pronašli korijen 841, morali biste pritisnuti 8, 4, 1 i (√). Kao rezultat toga, dobit ćete odgovor od 39.