Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 3: Kako pronaći nepoznatu stranu
• Metoda 2 od 3: Pronalaženje nepoznatog kuta
• Metoda 3 od 3: Primjeri problema
• Savjeti

Teorem kosinusa široko se koristi u trigonometriji. Koristi se pri radu s nepravilnim trokutima za pronalaženje nepoznatih veličina poput stranica i kutova. Teorem je sličan pitagorejskom teoremu i prilično ga se lako pamti. Teorem kosinusa kaže da u svakom trokutu ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Koraci

Metoda 1 od 3: Kako pronaći nepoznatu stranu

1. 1 Zapišite poznate vrijednosti. Da biste pronašli nepoznatu stranicu trokuta, morate znati druge dvije stranice i kut između njih.
   • Na primjer, dan trokut XYZ. YX stranica je 5 cm, YZ stranica je 9 cm, a Y kut je 89 °. Što je XZ strana?
2. 2 Zapišite formulu teorema kosinusa. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, gdje ${ displaystyle c}$ - nepoznata stranka, ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus kuta suprotnog od nepoznate strane, ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ - dvije dobro poznate strane.
3. 3 Uključite poznate vrijednosti u formulu. Varijable ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ označavaju dvije poznate strane. Promjenjivo ${ displaystyle C}$ je poznati kut koji leži između stranica ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$.
   • U našem primjeru XZ strana je nepoznata pa se u formuli označava kao ${ displaystyle c}$... Budući da su stranice YX i YZ poznate, označene su varijablama ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$... Promjenjivo ${ displaystyle C}$ je kut Y. Dakle, formula će biti zapisana na sljedeći način: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Pronađi kosinus poznatog kuta. Učinite to pomoću kalkulatora. Unesite vrijednost kuta, a zatim kliknite ${ displaystyle COS}$... Ako nemate znanstveni kalkulator, ovdje pronađite online tablicu kosinusa. Također u Yandexu možete unijeti "kosinus od X stupnjeva" (zamijenite vrijednost kuta za X), a tražilica će prikazati kosinus kuta.
   • Na primjer, kosinus je 89 ° ≈ 0,01745. Tako: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Pomnožite brojeve. Pomnožiti ${ displaystyle 2ab}$ kosinusom poznatog kuta.
   • Na primjer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Presavijte kvadrate poznatih stranica. Upamtite, da biste broj na kvadrat morali pomnožiti sam sa sobom. Najprije kvadrirajte odgovarajuće brojeve, a zatim dodajte rezultirajuće vrijednosti.
   • Na primjer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Oduzmite dva broja. Naći ćete ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Na primjer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Uzmite kvadratni korijen ove vrijednosti. Da biste to učinili, upotrijebite kalkulator. Ovako ćete pronaći nepoznatu stranu.
   • Na primjer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Dakle, nepoznata strana je 10.2191 cm.

Metoda 2 od 3: Pronalaženje nepoznatog kuta

1. 1 Zapišite poznate vrijednosti. Da biste pronašli nepoznati kut trokuta, morate znati sve tri stranice trokuta.
   • Na primjer, dan trokut RST. Strana CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Pronađite vrijednost kuta S.
2. 2 Zapišite formulu teorema kosinusa. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, gdje ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus nepoznatog kuta, ${ displaystyle c}$ - poznata strana nasuprot nepoznatog ugla, ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$ - još dvije poznate zabave.
3. 3 Pronađite vrijednosti a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} i c{ displaystyle c}. Zatim ih uključite u formulu.
   • Na primjer, RT strana je suprotna nepoznatom kutu S, pa je RT stranica ${ displaystyle c}$ u formuli. Ostale stranke će ${ displaystyle a}$ i ${ displaystyle b}$... Dakle, formula će biti zapisana na sljedeći način: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Pomnožite brojeve. Pomnožiti ${ displaystyle 2ab}$ kosinusom nepoznatog kuta.
   • Na primjer, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Uspravan c{ displaystyle c} na trgu. Odnosno, pomnožite sam broj.
   • Na primjer, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Presavijte kvadrate a{ displaystyle a} i b{ displaystyle b}. No, prvo uokvirite odgovarajuće brojeve.
   • Na primjer:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izolirajte kosinus nepoznatog kuta. Da biste to učinili, oduzmite iznos ${ displaystyle a ^ {2}}$ i ${ displaystyle b ^ {2}}$ s obje strane jednadžbe. Zatim svaku stranu jednadžbe podijelite s faktorom na kosinus nepoznatog kuta.
   • Na primjer, da biste izolirali kosinus nepoznatog kuta, oduzmite 164 s obje strane jednadžbe, a zatim svaku stranicu podijelite sa -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Izračunajte inverzni kosinus. Ovo će pronaći vrijednost nepoznatog kuta. Na kalkulatoru se označava inverzna kosinusna funkcija ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Na primjer, arkozinu od 0,0125 je 82,8192. Dakle, kut S je 82.8192 °.

Metoda 3 od 3: Primjeri problema

1. 1 Pronađi nepoznatu stranicu trokuta. Poznate stranice su 20 cm i 17 cm, a kut između njih je 68 °.
   • Budući da su vam date dvije stranice i kut između njih, možete koristiti kosinusni teorem. Zapišite formulu: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nepoznata strana je ${ displaystyle c}$... Uključite poznate vrijednosti u formulu: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Izračunati ${ displaystyle c ^ {2}}$, promatrajući redoslijed matematičkih operacija:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Uzmite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Ovako ćete pronaći nepoznatu stranu:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Dakle, nepoznata strana je 20.8391 cm.
2. 2 Nađi kut H u trokutu GHI. Dvije stranice uz ugao H su 22 i 16 cm. Strana nasuprot kutu H je 13 cm.
   • Budući da su date sve tri strane, može se koristiti kosinusni teorem. Zapišite formulu: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Strana suprotna nepoznatom uglu je ${ displaystyle c}$... Uključite poznate vrijednosti u formulu: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Pojednostavite rezultirajući izraz:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izolirajte kosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Pronađi inverzni kosinus. Ovako izračunate nepoznati kut:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Dakle, kut H iznosi 35,7985 °.
3. 3 Odredi duljinu staze. Riječni, brdski i močvarni putovi tvore trokut. Duljina riječne staze je 3 km, duljina Brdske staze 5 km; te se staze međusobno sijeku pod kutom od 135 °. Močvarna staza povezuje dva kraja ostalih staza. Pronađi duljinu Močvarne staze.
   • Staze tvore trokut. Morate pronaći duljinu nepoznate staze, koja je stranica trokuta. Budući da su zadane duljine druga dva puta i kut između njih, može se koristiti kosinusni teorem.
   • Zapišite formulu: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nepoznati put (Močvara) bit će označen kao ${ displaystyle c}$... Uključite poznate vrijednosti u formulu: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Izračunati ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Uzmite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Ovako ćete pronaći duljinu nepoznate staze:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Dakle, duljina močvarne staze je 7.4306 km.

Savjeti

• Lakše je koristiti sinusni teorem. Stoga prvo saznajte može li se primijeniti na zadani problem.