Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 3: Pronalaženje domene funkcije
• Dio 2 od 3: Pronalaženje raspona kvadratne funkcije
• Dio 3 od 3: Pronalaženje raspona funkcije pomoću njezinog grafikona

Svaka funkcija ima dvije varijable - neovisnu varijablu i ovisnu varijablu, čije vrijednosti ovise o vrijednostima neovisne varijable. Na primjer, u funkciji y = f(x) = 2x + y neovisna varijabla je x, a ovisna varijabla y (drugim riječima, y ​​je funkcija od x). Valjane vrijednosti neovisne varijable "x" nazivaju se domenom funkcije, a valjane vrijednosti ovisne varijable "y" domenom funkcije.

Koraci

1. dio od 3: Pronalaženje domene funkcije

1. 1 Odredite vrstu funkcije koja vam je dodijeljena. Raspon vrijednosti funkcije su sve dopuštene vrijednosti "x" (iscrtane duž vodoravne osi), koje odgovaraju dopuštenim vrijednostima "y". Funkcija može biti kvadratna ili sadržavati razlomke ili korijene. Da biste pronašli domenu funkcije, prvo morate odrediti vrstu funkcije.
   • Kvadratna funkcija je: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Funkcija koja sadrži razlomak: f (x) = (/_x), f (x) = /_{(x - 1)} (itd.).
   • Funkcija koja sadrži korijen: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (i tako dalje).
2. 2 Odaberite odgovarajući unos za opseg funkcije. Opseg je napisan u kvadratima i / ili zagradama. Uglata zagrada koristi se kada je vrijednost unutar opsega funkcije; ako vrijednost nije u opsegu, koriste se zagrade. Ako funkcija ima nekoliko nesusjednih domena definicije, simbol "U" stavlja se između njih.
   • Na primjer, domena [-2,10) U (10,2] uključuje vrijednosti -2 i 2, ali ne uključuje vrijednost 10.
   • Zagrade se uvijek koriste sa simbolom beskonačnosti ∞.
3. 3 Nacrtajte kvadratnu funkciju. Graf takve funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore ili prema dolje. Budući da se parabola povećava ili smanjuje na cijeloj osi X, područje kvadratne funkcije su svi realni brojevi. Drugim riječima, područje takve funkcije je skup R (R označava sve realne brojeve).
   • Za bolje razumijevanje koncepta funkcije, odaberite bilo koju vrijednost "x", zamijenite je funkcijom i pronađite vrijednost "y". Par vrijednosti "x" i "y" predstavljaju točku s koordinatama (x, y), koja leži na grafikonu funkcije.
   • Nacrtajte ovu točku na koordinatnoj ravnini i slijedite opisani proces s drugom vrijednošću "x".
   • Iscrtavanjem nekoliko točaka na koordinatnoj ravnini dobit ćete opću predodžbu o obliku grafikona funkcija.
4. 4 Ako funkcija sadrži razlomak, postavite njezin nazivnik na nulu. Zapamtite da ne možete podijeliti s nulom. Stoga ćete izjednačavanjem nazivnika s nulom pronaći vrijednosti za "x" koje nisu u opsegu funkcije.
   • Na primjer, pronađite domenu funkcije f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Ovdje je nazivnik (x - 1).
   • Izjednačite nazivnik s nulom i pronađite "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Zapišite opseg funkcije. Domena ne uključuje 1, odnosno uključuje sve realne brojeve osim 1. Dakle, domena funkcije je: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Zapis (-∞, 1) U (1, ∞) glasi ovako: skup svih realnih brojeva osim 1. Simbol beskonačnosti ∞ znači sve realne brojeve. U našem primjeru, svi realni brojevi veći od 1 i manji od 1 uključeni su u opseg.
5. 5 Ako funkcija sadrži kvadratni korijen, tada radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli. Upamtite da kvadratni korijen negativnih brojeva nije izvučen. Stoga se svaka vrijednost "x" pri kojoj radikalni izraz postane negativan mora isključiti iz opsega funkcije.
   • Na primjer, pronađite domenu funkcije f (x) = √ (x + 3).
   • Radikalni izraz: (x + 3).
   • Radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli: (x + 3) ≥ 0.
   • Nađi "x": x ≥ -3.
   • Opseg ove funkcije uključuje skup svih realnih brojeva koji su veći ili jednaki -3. Dakle, domena je [-3, ∞).

Dio 2 od 3: Pronalaženje raspona kvadratne funkcije

1. 1 Provjerite jeste li dobili kvadratnu funkciju. Kvadratna funkcija ima oblik: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Graf takve funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore ili prema dolje. Postoje različite metode za pronalaženje raspona vrijednosti kvadratne funkcije.
   • Najlakši način za pronalaženje raspona funkcije korijena ili razlomka je grafički prikazati tu funkciju pomoću grafičkog kalkulatora.
2. 2 Nađi x-koordinatu vrha grafikona funkcija. U slučaju kvadratne funkcije, pronađite x-koordinatu vrha parabole. Upamtite da je kvadratna funkcija: ax + bx + c. Za izračun x -koordinate upotrijebite sljedeću jednadžbu: x = -b / 2a. Ova je jednadžba izvedenica osnovne kvadratne funkcije i opisuje tangentu čiji je nagib nula (tangenta na vrh parabole paralelna je s osi X).
   • Na primjer, pronađite raspon funkcije 3x + 6x -2.
   • Izračunajte x -koordinatu vrha parabole: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Pronađite y-koordinatu vrha grafikona funkcija. Da biste to učinili, zamijenite pronađenu koordinatu "x" u funkciju. Tražena koordinata "y" granična je vrijednost raspona vrijednosti funkcije.
   • Izračunajte y -koordinatu: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Koordinate vrha parabole ove funkcije su (-1, -5).
4. 4 Odredite smjer parabole zamjenom najmanje jedne vrijednosti x u funkciju. Odaberite bilo koju drugu vrijednost x i uključite je u funkciju kako biste izračunali odgovarajuću vrijednost y. Ako je pronađena vrijednost "y" veća od koordinate "y" vrha parabole, tada je parabola usmjerena prema gore. Ako je pronađena vrijednost "y" manja od koordinate "y" vrha parabole, tada je parabola usmjerena prema dolje.
   • Zamijenite x = -2 u funkciji: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Koordinate točke na paraboli su (-2, -2).
   • Pronađene koordinate pokazuju da su grane parabole usmjerene prema gore. Dakle, raspon funkcija uključuje sve vrijednosti y koje su veće ili jednake -5.
   • Raspon vrijednosti ove funkcije: [-5, ∞)
5. 5 Raspon vrijednosti funkcije zapisuje se na isti način kao i raspon definicije funkcije. Uglata zagrada koristi se kada je vrijednost u rasponu funkcije; ako vrijednost nije u rasponu, koristi se zagrada. Ako funkcija ima nekoliko nesusljednih raspona vrijednosti, simbol "U" stavlja se između njih.
   • Na primjer, raspon [-2,10) U (10,2] uključuje vrijednosti -2 i 2, ali ne uključuje vrijednost 10.
   • Zagrade se uvijek koriste sa simbolom beskonačnosti ∞.

Dio 3 od 3: Pronalaženje raspona funkcije pomoću njezinog grafikona

1. 1 Nacrtajte funkciju. U mnogim slučajevima lakše je pronaći raspon vrijednosti funkcije iscrtavanjem njezinog grafikona. Raspon vrijednosti mnogih funkcija s korijenima je (-∞, 0] ili [0, + ∞), budući da vrh parabole usmjeren desno ili lijevo leži na osi X. U ovom slučaju , raspon uključuje sve pozitivne vrijednosti "y" ako se parabola povećava, ili sve negativne vrijednosti y ako se parabola smanjuje. Frakcijske funkcije imaju asimptote koje definiraju njihov raspon.
   • Vrhovi grafova nekih funkcija s korijenima leže iznad ili ispod osi X. U ovom slučaju raspon vrijednosti određen je koordinatom “y” vrha parabole. Ako je, na primjer, koordinata "y" vrha parabole -4 (y = -4), a parabola se povećava, tada je raspon vrijednosti [-4, + ∞).
   • Najjednostavniji način grafičkog prikaza funkcije je korištenje grafičkog kalkulatora ili posebnog softvera.
   • Ako nemate grafički kalkulator, izradite grubi grafikon uključivanjem više x vrijednosti u funkciju i izračunavanjem odgovarajućih y vrijednosti. Nacrtajte pronađene točke na koordinatnoj ravnini kako biste dobili opću predodžbu o obliku grafikona.
2. 2 Pronađi minimum funkcije. Kada iscrtate funkciju, vidjet ćete točku u kojoj funkcija ima minimalnu vrijednost.Ako nema očitog minimuma, onda on ne postoji, a graf funkcije ide na -∞.
   • Raspon vrijednosti funkcije uključuje sve vrijednosti "y" osim vrijednosti asimptota. Često su rasponi vrijednosti takvih funkcija zapisani na sljedeći način: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Odredite maksimum funkcije. Nakon što ste iscrtali funkciju, vidjet ćete točku u kojoj funkcija ima svoju najveću vrijednost. Ako nema očitog maksimuma, onda on ne postoji, a graf funkcije ide na + ∞.
4. 4 Raspon vrijednosti funkcije zapisuje se na isti način kao i raspon definicije funkcije. Uglata zagrada koristi se kada je vrijednost u rasponu funkcije; ako vrijednost nije u rasponu, koristi se zagrada. Ako funkcija ima nekoliko nesusljednih raspona vrijednosti, simbol "U" stavlja se između njih.
   • Na primjer, raspon [-2,10) U (10,2] uključuje vrijednosti -2 i 2, ali ne uključuje vrijednost 10.
   • Zagrade se uvijek koriste sa simbolom beskonačnosti ∞.