Sadržaj

• Koraci
• Metoda 1 od 3: Shvatite izjavu o problemu
• Metoda 2 od 3: Formulirajte dokaz
• Metoda 3 od 3: Zapišite dokaze
• Savjeti

Pronalaženje matematičkog dokaza može biti zastrašujući zadatak, ali poznavanje matematike i pisanje dokaza pomoći će vam. Nažalost, ne postoje brze i jednostavne metode za rješavanje matematičkih problema. Potrebno je pravilno proučiti predmet i sjetiti se osnovnih teorema i definicija koje će vam biti korisne pri dokazivanju određenog matematičkog postulata. Proučite primjere matematičkih dokaza i uvježbajte se kako biste poboljšali svoje vještine.

Koraci

Metoda 1 od 3: Shvatite izjavu o problemu

1. 1 Odredite što želite pronaći. Prvi korak je shvatiti što točno treba dokazati. Između ostalog, ovo će odrediti posljednju tvrdnju u vašem dokazu. U ovoj fazi također biste trebali donijeti određene pretpostavke unutar kojih ćete raditi. Da biste bolje razumjeli problem i počeli ga rješavati, saznajte što trebate dokazati i donesite potrebne pretpostavke.
2. 2 Nacrtaj crtež. Pri rješavanju matematičkih problema ponekad je korisno prikazati ih u obliku slike ili dijagrama. To je osobito važno u slučaju geometrijskih problema - crtež pomaže vizualizirati stanje i uvelike olakšava traženje rješenja.
   • Prilikom izrade slike ili dijagrama koristite podatke navedene u ovom uvjetu. Označite poznate i nepoznate veličine na slici.
   • Crtež će vam olakšati pronalaženje dokaza.
3. 3 Proučite dokaze sličnih teorema. Ako ne možete odmah pronaći rješenje, pronađite slične teoreme i pogledajte kako su dokazani.
   • Imajte na umu da morate navesti razloge za svaki korak dokazivanja. Pogledajte kako se dokazuju različiti teoremi na Internetu ili u udžbenicima matematike.
4. 4 Postavljati pitanja. U redu je ako ne uspijete odmah pronaći dokaz.Ako vam nešto nije jasno, pitajte o tome svog učitelja ili kolege iz razreda. Možda vaši drugovi imaju ista pitanja pa ih možete zajedno riješiti. Bolje je postaviti nekoliko pitanja nego pokušavati i bezuspješno tražiti dokaze uvijek iznova.
   • Idite učitelju nakon nastave i saznajte sva nejasna pitanja.

Metoda 2 od 3: Formulirajte dokaz

1. 1 Formulirajte matematički dokaz. Matematički dokaz je slijed iskaza potkrijepljen teoremima i definicijama koji dokazuje matematički postulat. Dokazi su jedini način da se utvrdi je li tvrdnja matematički točna.
   • Sposobnost zapisivanja matematičkih dokaza svjedoči o dubokom razumijevanju problema i ovladavanju potrebnim alatima (lemama, teoremima i definicijama).
   • Strogi dokazi mogu vam pomoći da ponovo pogledate matematiku i osjetite njezinu fascinaciju. Samo pokušajte dokazati tvrdnju kako biste stekli uvid u matematičke metode.
2. 2 Uzmite u obzir svoju publiku. Prije nego počnete bilježiti dokaze, trebate razmisliti kome su namijenjeni i uzeti u obzir razinu znanja tih ljudi. Ako zapisujete dokaze za daljnje objavljivanje u znanstvenom časopisu, to će se razlikovati od onoga kada radite školski zadatak.
   • Poznavanje vaše ciljne publike omogućit će vam da zapišete dokaze, a svoje čitatelje uvježbati da ih razumiju.
3. 3 Odredite vrstu dokaza. Postoji nekoliko vrsta matematičkih dokaza, a odabir određenog oblika ovisi o ciljnoj publici i problemu koji se rješava. Ako niste sigurni koju vrstu odabrati, provjerite sa svojim učiteljem. U srednjoj školi potreban je dokaz u dva stupca.
   • Prilikom pisanja dokaza u dva stupca, jedan bilježi početne podatke i izjave, a drugi - odgovarajuće dokaze tih izjava. Ovaj oblik zapisa često se koristi pri rješavanju geometrijskih problema.
   • U manje formalnom načinu pisanja dokaza koriste se gramatički ispravne konstrukcije i manje simbola. Na višim razinama ovo je oznaka koju treba koristiti.
4. 4 Skicirajte dokaz u dvije kolone. Ovaj obrazac pomaže organizirati misli i dosljedno riješiti problem. Podijelite stranicu okomitom linijom na pola, a na lijevu stranu napišite svoje izvorne podatke i izjave koje iz nje slijede. Zapišite odgovarajuće definicije i teoreme s desne strane svake tvrdnje.
   • Na primjer:
   • uglovi A i B susjedni su - zadani;
   • kut ABC je spljošten - definira spljošteni kut;
   • kut ABC je 180 ° - definira ravnu liniju;
   • kut A + kut B = kut ABC - pravilo za zbrajanje kutova;
   • kut A + kut B = 180 ° - zamjena;
   • kut A komplementaran je kutu B - definicija dodatnih kutova;
   • Q.E.D.
5. 5 Zapišite dokaz u dva stupca kao neformalni dokaz. Kao osnovu upotrijebite unos u dva stupca i dokaz napišite u kraćem obliku s manje simbola i kratica.
   • Na primjer: pretpostavimo da su kutovi A i B susjedni. Prema hipotezi, ti se kutovi međusobno nadopunjuju. Kad su susjedni, kut A i kut B tvore ravnu liniju. Ako stranice kuta tvore ravnu liniju, kut je 180 °. Dodajte kutove A i B da biste stvorili ravnu liniju ABC. Dakle, zbroj kutova A i B iznosi 180 °, odnosno ti su kutovi komplementarni. Q.E.D.

Metoda 3 od 3: Zapišite dokaze

1. 1 Naučite jezik dokaza. Standardni iskazi i izrazi koriste se za pisanje matematičkih dokaza. Morate naučiti ove izraze i znati ih koristiti.
   • Izraz "Ako A, onda B" znači da ako je tvrdnja A točna, tada i izjava B mora biti točna.
   • "A ako i samo ako B" znači da su izjave A i B istinite ili netočne u isto vrijeme. Ova je konstrukcija ekvivalentna dvije istovremene izjave: "Ako A, onda B" i "Ako A ne uspije, onda B ne vrijedi".
   • "A samo ako je B" ekvivalentno "Ako B, onda A", pa ova konstrukcija nije uobičajena. Ipak, potrebno je zapamtiti to.
   • Prilikom bilježenja dokaza pokušajte koristiti "mi" umjesto osobne zamjenice "ja".
2. 2 Zapišite sve izvorne podatke. Prilikom sastavljanja dokaza prvo je potrebno definirati i napisati sve što je navedeno u problemu. U tom slučaju imat ćete pred očima sve početne podatke, na temelju kojih je potrebno pribaviti odluku. Pažljivo pročitajte izjavu o problemu i zapišite sve što je u njoj navedeno.
   • Na primjer: dokažite da se dva susjedna kuta (kut A i kut B) međusobno nadopunjuju.
   • S obzirom: susjedni uglovi A i B.
   • Dokaži: kut A komplementaran je kutu B.
3. 3 Definirajte sve varijable. Osim snimanja izvornih podataka, korisno je i ispisati ostale varijable. Kako biste čitatelju olakšali, zapišite varijable na samom početku dokaza. Ako nisu definirane varijable, čitatelj se može zbuniti i neće razumjeti vaš dokaz.
   • Nemojte koristiti prethodno nedefinirane varijable tijekom dokazivanja.
   • Na primjer: u gore razmatranom problemu varijable su vrijednosti kutova A i B.
4. 4 Pokušajte pronaći dokaz obrnutim redoslijedom. Mnogi se problemi lakše rješavaju obrnutim redoslijedom. Počnite s onim što trebate dokazati i razmislite o tome kako zaključke možete povezati s početnim stanjem.
   • Ponovno pročitajte početne i završne korake i provjerite jesu li međusobno slični. Pritom koristite početne uvjete, definicije i slične dokaze iz drugih problema.
   • Postavite si pitanja i krenite naprijed. Da biste dokazali pojedinačne izjave, zapitajte se: "Zašto je to tako?" - i: "Može li biti pogrešno?"
   • Ne zaboravite zapisati pojedinačne korake uzastopno dok ne dobijete konačni rezultat.
   • Na primjer: ako su kutovi A i B komplementarni, njihov bi zbroj trebao biti 180 °. Prema definiciji susjednih kutova, kutovi A i B tvore ravnu liniju ABC. Budući da linija tvori kut od 180 °, kutovi A i B zbrajaju se do 180 °.
5. 5 Pojedinačne korake dokaza rasporedite tako da budu dosljedni i logični. Počnite od početka i napredujte do dokazane teze. Iako je ponekad korisno započeti na kraju potrage za dokazima, morate se pridržavati ispravnog redoslijeda pri pisanju. Zasebne teze trebale bi se nizati jedna za drugom kako bi dokaz bio logičan i ne izaziva sumnje.
   • Prvo razmotrite napravljene pretpostavke.
   • Potvrdite izrečene izjave jednostavnim i jasnim koracima kako čitatelj ne bi imao sumnje u njihovu točnost.
   • Ponekad morate ponoviti dokaz više puta. Nastavite grupirati izjave i njihove dokaze dok ne dođete do najlogičnije strukture.
   • Na primjer: počnimo od početka.
     • Kutovi A i B su susjedni.
     • Stranice ugla ABC tvore ravnu liniju.
     • Kut ABC je 180 °.
     • Kut A + Kut B = Kut ABC.
     • Kut A + Kut B = Kut 180 °.
     • Kut A komplementaran je kutu B.
6. 6 Ne koristite strelice i skraćenice u dokazu. U nacrtu se mogu koristiti različite kratice i simboli, ali ih nemojte uključivati ​​u konačni nacrt jer to može zbuniti čitatelje. Umjesto toga koristite riječi poput "dakle" i "tada".
   • Kao iznimke, dopuštene su razumljive kratice, na primjer, „tj. e. " (to jest), međutim koristite ih na odgovarajući način.
7. 7 Potvrdite svaku tezu teoremom, zakonom ili definicijom. Dokaz mora biti besprijekoran. Ne možete davati neutemeljene izjave. Pogledajte kako se grade dokazi za probleme slične vašem.
   • Pokušajte primijeniti dokaze koje nađete na slučajeve u kojima to ne bi trebalo biti istina i provjerite jesu li. Ako je dokaz valjan u takvim slučajevima, provjerite gdje ste pogriješili.
   • Dokazi geometrijskih problema često se pišu u dva stupca. Tvrdnje su napisane s desne strane, a njihovi dokazi s lijeve strane. Istodobno, u publikacijama se matematički dokazi sastavljaju u obliku odlomaka s odgovarajućom gramatikom.
8. 8 Završite dokaze izrazom “kako je potrebno za dokazivanje”. Na kraju dokaza mora biti dokazana teza. Nakon toga trebate napisati "ono što je potrebno za dokazivanje" (skraćeno kao "h. Itd." Ili simbol u obliku ispunjenog kvadrata) - to znači da je dokaz potpun.
   • Na latinskom izraz "ono što je bilo potrebno dokazati" odgovara skraćenici Q.E.D. (quod erat demonstrandum, odnosno „ono što je trebalo pokazati“).
   • Ako sumnjate u ispravnost dokaza, samo napišite nekoliko fraza o tome do kojeg ste zaključka došli i zašto je to važno.

Savjeti

• Svi podaci navedeni u dokazima moraju služiti postizanju navedenog cilja. Ne uvrštavajte u svoj dokaz ono bez čega možete.