Sadržaj

• Koraci
• 1. dio od 2: Kutovi u radijanima
• 2. dio 2: x-y koordinate (kosinus, sinus)
• Savjeti

Jedinični krug koristi se ne samo u trigonometriji i geometriji, već i u drugim granama matematike. Na prvi pogled, sjetiti se svih pojedinačnih točaka na njemu prilično je teško, ali ako razumijete osnovno načelo, lako možete upotrijebiti jedinični krug.

Koraci

1. dio od 2: Kutovi u radijanima

1. 1 Nacrtajte dvije okomite crte. Uzmite veliki komad papira i ravnalo te nacrtajte okomite i vodoravne crte. Točka sjecišta ovih linija trebala bi ležati približno u sredini lista. To će biti osi x i y.
2. 2 Nacrtaj krug. Uzmite kompas, stavite iglu na sjecište linija i nacrtajte veliki krug.
3. 3 Upoznajte se s pojmom radijana. Radian je mjerna jedinica za kutove. Po definiciji, kut od jednog radijana odreže se po obodu jedinice radius luk jedinične duljine. U ovom odjeljku točke će biti označene odgovarajućim vrijednostima u radijanima. Sjećate li se odnosa između opsega kruga i njegovog polumjera, te vrijednosti možete lako odrediti duž jedinične kružnice, čak i ako ste ih zaboravili.
   • Pri mjerenju kutova duž jedinične kružnice za polazište se uvijek uzima točka s koordinatama (0; 1). Radi jasnoće, možete zamisliti jedinični krug u obliku ruže vjetrova, tada će referentna točka odgovarati istočnom smjeru.
4. 4 Upamtite da je ukupna duljina jediničnog kruga 2π. Opseg je 2πr, gdje r - njegov radijus. Budući da je polumjer jedinične kružnice 1, njezina je duljina 2π. Odavde možete pronaći vrijednost u radijanima za svaku točku kruga: samo uzmite 2π i podijelite s dijelom kruga koji odgovara ovoj točki. To je mnogo lakše nego pokušavati naučiti vrijednosti u svakoj točki jediničnog kruga.
5. 5 Označite četiri točke na osi x i y. Ove će točke podijeliti krug u četiri kvadranta (četvrtine):
   • "istok" je referentna točka, pa odgovara 0 radijani;
   • "sjever" = ¼ krug = /₄ = /₂ radijani;
   • "zapad" = polukrug = /₂ = π radijani;
   • "jug" = tri četvrtine kružnice = 2π * ¾ = /₂ radijani;
   • nakon prelaska cijelog kruga vraćamo se na početnu točku, pa mu se zajedno s 0 može dodijeliti vrijednost 2π.
6. 6 Krug podijelite na osam dijelova. Nacrtajte ravne crte po sredini svakog kvadranta tako da ih prepolove. Za točke presjeka linija s kružnicom dobivamo sljedeće vrijednosti u radijanima:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (točke π / 2, π, 3π / 2 i 2π već su označene).
7. 7 Krug podijelite na šest dijelova. Nacrtajte dodatne crte koje dijele krug na šest dijelova. Za to možete koristiti kutomjer: krenite od pozitivnog smjera osi x i odložite kutove od 60 stupnjeva. Pomoću gore opisane metode lako je utvrditi da je šesti dio kruga /₆ = /₃ radijani. Sada možemo označiti točke presjeka novih linija s kružnicom (po jedna u svakom kvadrantu):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (vrijednosti π i 2π već su zabilježene).
8. 8 Nacrtajte linije koje dijele krug na 12 dijelova. Ostaje podijeliti jedinični krug na 12 jednakih dijelova. Od ovih točaka, samo četiri prethodno nisu zabilježene:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

2. dio 2: x-y koordinate (kosinus, sinus)

1. 1 Upoznajte se s pojmovima sinus i kosinus. Jedinica kruga izvrsna je za rad s pravokutnim trokutima. Koordinate x točke koje leže na kružnici jednake su cos (θ), a koordinate y odgovaraju sin (θ), gdje je θ kut.
   • Ako vam je teško zapamtiti ovo pravilo, samo se sjetite da je u paru (cos; sin) "sinus na posljednjem mjestu".
   • Ovo se pravilo može zaključiti ako uzmemo u obzir pravokutne trokute i definiciju ovih trigonometrijskih funkcija (sinus kuta jednak je omjeru duljine suprotnosti, a kosinus je susjedni krak hipotenuzi).
2. 2 Zapiši koordinate četiri točke na kružnici. "Jedinična kružnica" je kružnica čiji je polumjer jednak jedan. Koristite ovo za određivanje koordinata x i y na četiri točke presjeka koordinatnih osi s kružnicom. Gore smo ove točke radi jasnoće označili kao "istok", "sjever", "zapad" i "jug", iako nemaju utvrđeno ime.
   • "Istok" odgovara točki s koordinatama (1; 0).
   • "Sjever" odgovara točki s koordinatama (0; 1).
   • "Zapad" odgovara točki s koordinatama (-1; 0).
   • "Jug" odgovara točki s koordinatama (0; -1).
   • Ovo je isto što i normalni graf, pa nema potrebe pamtiti ove vrijednosti, samo se sjetite osnovnog načela.
3. 3 Zapamtite koordinate točaka u prvom kvadrantu. Prvi kvadrant nalazi se u gornjem desnom kutu kruga, gdje su koordinate x i y uzeti pozitivne vrijednosti. Ovo su jedine koordinate koje morate zapamtiti:
   • točka /₆ ima koordinate (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • točka /₄ ima koordinate (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • točka /₃ ima koordinate (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • imajte na umu da brojnik prihvaća samo tri vrijednosti. Krećete li se u pozitivnom smjeru (slijeva nadesno po osi x a odozdo prema gore po osi y), brojnik uzima vrijednosti 1 → √2 → √3.
4. 4 Nacrtajte ravne crte i odredite koordinate točaka njihova sjecišta s krugom. Ako iz točaka jednog kvadranta povučete ravne vodoravne i okomite crte, druge točke presjeka ovih linija s krugom imat će koordinate x i y s istim apsolutnim vrijednostima, ali različitim predznacima. Drugim riječima, možete nacrtati vodoravne i okomite crte iz točaka prvog kvadranta i potpisati točke sjecišta s krugom s istim koordinatama, ali u isto vrijeme ostaviti mjesta za ispravan znak ("+" ili "- ") na lijevo.
   • Na primjer, možete povući vodoravnu liniju između točaka /₃ i /₃... Budući da prva točka ima koordinate (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), koordinate druge točke bit će (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac {{sqrt {3}} {2}}}$), gdje se umjesto znaka "+" ili "-" postavlja upitnik.
   • Poslužite se najjednostavnijom metodom: zabilježite nazivnike koordinata točke u radijanima. Sve točke s nazivnikom 3 imaju iste vrijednosti apsolutnih koordinata. Isto vrijedi i za točke s nazivnicima 4 i 6.
5. 5 Pomoću pravila simetrije odredite znak koordinata. Postoji nekoliko načina kako odrediti gdje staviti znak "-":
   • sjetite se osnovnih pravila za redovne grafikone. Os x negativno s lijeve i pozitivno s desne strane. Os y negativno ispod i pozitivno gore;
   • počnite u prvom kvadrantu i povucite crte do drugih točaka. Ako linija prelazi os y, Koordinirati x promijenit će svoj znak. Ako linija prelazi os x, promijenit će se znak koordinate y;
   • zapamtite da su u prvom kvadrantu sve funkcije pozitivne, u drugom kvadrantu samo sinus je pozitivan, u trećem je pozitivan samo tangent, a u četvrtom je kosinus pozitivan;
   • koju god metodu da koristite, prvi kvadrant bi trebao biti ( +, +), drugi ( -, +), treći ( -, -) i četvrti ( +, -).
6. 6 Provjerite griješite li. Dolje se nalazi potpuni popis koordinata "posebnih" točaka (osim četiri točke na koordinatnim osama), ako se krećete po jediničnoj kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zapamtite da je za određivanje svih ovih vrijednosti dovoljno zapamtiti koordinate točaka samo u prvom kvadrantu:
   • prvi kvadrant: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • drugi kvadrant: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • treći kvadrant: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • četvrti kvadrant: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Savjeti

• Ako trebate koristiti jedinični krug za test ili ispit, nacrtajte ga na skici.
• Uz malo vježbe, trebali biste moći brzo nacrtati jedinični krug. S vremenom ćete moći crtati samo sjekire x i y ili čak i bez dijagrama.