Sadržaj

• Koraci

Trigonometrijska jednadžba sadrži jednu ili više trigonometrijskih funkcija varijable "x" (ili bilo koje druge varijable). Rješavanje trigonometrijske jednadžbe je pronalaženje takve vrijednosti "x" koja zadovoljava funkciju (funkcije) i jednadžbu u cjelini.

• Rješenja trigonometrijskih jednadžbi izražena su u stupnjevima ili radijanima. Primjeri:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 stupnjeva; x = 37,12 stupnjeva; x = 178,37 stupnjeva.

• Napomena: vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz kutova, izražene u radijanima, i iz kutova, izražene u stupnjevima, jednake su. Trigonometrijski krug s radijusom jednakim koristi se za opisivanje trigonometrijskih funkcija, kao i za provjeru ispravnosti rješenja osnovnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednačina.
• Primjeri trigonometrijskih jednadžbi:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrijska kružnica polumjera jedan (jedinična kružnica).
   • To je kružnica s polumjerom jednakim jedan i središtem u točki O. Jedinična kružnica opisuje 4 osnovne trigonometrijske funkcije varijable "x", gdje je "x" kut mjeren od pozitivnog smjera osi X u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
   • Ako je "x" neki kut na jediničnoj kružnici, tada:
   • Vodoravna os OAx definira funkciju F (x) = cos x.
   • Okomita os OBy definira funkciju F (x) = sin x.
   • Okomita os AT definira funkciju F (x) = tan x.
   • Vodoravna os BU definira funkciju F (x) = ctg x.

• Jedinični krug također se koristi za rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti (na njemu se razmatraju različiti položaji "x").

Koraci

1. 1 Koncept rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
   • Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednadžbe.
2. 2 Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.
   • Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje gledanje različitih x položaja na jediničnoj kružnici i korištenje tablice pretvorbe (ili kalkulatora).
   • Primjer 1.sin x = 0.866. Pomoću tablice pretvorbe (ili kalkulatora) dobivate odgovor: x = π / 3. Jedinična kružnica daje drugi odgovor: 2π / 3. Upamtite: sve su trigonometrijske funkcije periodične, odnosno njihove se vrijednosti ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Stoga je odgovor napisan na sljedeći način:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Primjer 2.cos x = -1/2. Pomoću tablice pretvorbe (ili kalkulatora) dobivate odgovor: x = 2π / 3. Jedinična kružnica daje drugi odgovor: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Primjer 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Odgovor: x = π / 4 + πn.
   • Primjer 4. ctg 2x = 1.732.
   • Odgovor: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformacije za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.
   • Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih članova itd.) I trigonometrijski identiteti.
   • Primjer 5. Koristeći trigonometrijske identitete, jednadžba sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvara se u jednadžbu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Dakle, trebate riješiti sljedeće osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Nalaženje kutova iz poznatih vrijednosti funkcija.
   • Prije nego naučite metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi, morate naučiti kako pronaći kutove iz poznatih vrijednosti funkcija. To se može učiniti pomoću tablice pretvorbe ili kalkulatora.
   • Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stupnjeva. Jedinična kružnica dat će dodatne kutove, čiji je kosinus također 0,732.
5. 5 Otopinu odložite na jedinični krug.
   • Rješenja trigonometrijske jednadžbe možete odgoditi na jediničnoj kružnici. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnoj kružnici su vrhovi pravilnog poligona.
   • Primjer: Rješenja x = π / 3 + πn / 2 na jediničnoj kružnici su vrhovi kvadrata.
   • Primjer: Rješenja x = π / 4 + πn / 3 na jediničnoj kružnici predstavljaju vrhove pravilnog šesterokuta.
6. 6 Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
   • Ako dana jednadžba okidača sadrži samo jednu funkciju aktiviranja, riješite tu jednadžbu kao osnovnu jednadžbu okidača.Ako dana jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (ovisno o mogućnosti njezine transformacije).
     • Metoda 1.
   • Pretvorite ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: f (x) * g (x) * h (x) = 0, gdje su f (x), g (x), h (x) osnovne trigonometrijske jednadžbe.
     
     
   • Primjer 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Riješenje. Koristeći formulu dvostrukog kuta sin 2x = 2 * sin x * cos x, zamijenite sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
   • Primjer 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Rješenje: Pomoću trigonometrijskih identiteta pretvorite ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
   • Primjer 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, pretvorite ovu jednadžbu u jednadžbu oblika: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
     • Metoda 2.
   • Pretvorite zadanu trigonometrijsku jednadžbu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, itd.).
   • Primjer 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Riješenje. U ovoj jednadžbi zamijenite (cos ^ 2 x) sa (1 - sin ^ 2 x) (po identitetu). Transformirana jednadžba je:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x s t. Jednadžba sada izgleda ovako: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba s dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon vrijednosti funkcije (-1 sin x 1). Sada odlučite: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Primjer 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Riješenje. Zamijenite tg x sa t. Prepišite izvornu jednadžbu na sljedeći način: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim x za t = tg x.
7. 7 Posebne trigonometrijske jednadžbe.
   • Postoji nekoliko posebnih trigonometrijskih jednadžbi koje zahtijevaju određene transformacije. Primjeri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodika trigonometrijskih funkcija.
   • Kao što je ranije spomenuto, sve su trigonometrijske funkcije periodične, odnosno njihove se vrijednosti ponavljaju nakon određenog razdoblja. Primjeri:
     • Period funkcije f (x) = sin x je 2π.
     • Period funkcije f (x) = tan x jednak je π.
     • Period funkcije f (x) = sin 2x je π.
     • Period funkcije f (x) = cos (x / 2) je 4π.
   • Ako je razdoblje navedeno u problemu, izračunajte vrijednost "x" unutar tog razdoblja.
   • Napomena: Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi nije lak zadatak i često dovodi do pogrešaka. Zato pažljivo provjerite svoje odgovore. Da biste to učinili, pomoću grafičkog kalkulatora iscrtajte zadanu jednadžbu R (x) = 0. U takvim slučajevima rješenja će biti predstavljena kao decimalni razlomak (to jest, π se zamjenjuje s 3.14).