Sadržaj

• Kročiti
• Metoda 1 od 2: Vučenje korijena s glavnim faktorima
• Metoda 2 od 2: Pronalaženje kvadratnih korijena bez kalkulatora
• Uz dugu podjelu
• Razumjeti postupak
• Savjeti
• Upozorenja

Prije pojave kalkulatora i studenti i profesori morali su izračunati kvadratne korijene olovkom i papirom. U to su vrijeme razvijene razne tehnike za rješavanje ovog ponekad teškog posla, od kojih neke daju grubu procjenu, a druge izračunavaju točnu vrijednost. Pročitajte kako biste saznali kako pronaći kvadratni korijen broja u nekoliko jednostavnih koraka.

Kročiti

Metoda 1 od 2: Vučenje korijena s glavnim faktorima

1. Podijelite svoj broj na faktore snage. Ova metoda koristi čimbenike broja za pronalaženje kvadratnog korijena broja (ovisno o broju, to može biti točan odgovor ili procjena). The čimbenici danog broja su bilo koji nizovi brojeva koji se množe zajedno da bi se stvorio taj određeni broj. Na primjer, možete reći da su čimbenici 8 jednaki 2 i 4 jer je 2 × 4 = 8. Savršeni su kvadrati, s druge strane, cijeli brojevi koji su umnožak ostalih cijelih brojeva. Na primjer, 25, 36 i 49 savršeni su kvadrati jer su jednaki 5, 6, odnosno 7. Drugi faktori snage, kao što ste shvatili, faktori su koji su također savršeni kvadrati. Da biste pronašli kvadratni korijen pomoću glavnih faktora, prvo pokušajte podijeliti broj na njegove druge faktore snage.
   • Uzmimo sljedeći primjer. Pronaći ćemo kvadratni korijen od 400. Za početak broj dijelimo na faktore snage. Budući da je 400 višekratnik 100, znamo da je ravnomjerno djeljiv s 25 - savršenim kvadratom. Quick rote nam govori da je 400/25 = 16,16 također savršen kvadrat. Dakle, faktor kocke od 400 jesu 25 i 16 jer je 25 × 16 = 400.
   • To zapisujemo kao: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Uzmite kvadratne korijene vaših drugih faktora snage. Pravilo umnožavanja kvadratnih korijena navodi da za bilo koji zadani broj a i b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Zbog ovog svojstva sada možemo uzeti kvadratne korijene faktora kvadrata i pomnožiti ih zajedno da bismo dobili odgovor.
   • U našem primjeru uzimamo kvadratne korijene 25 i 16. Pogledajte dolje:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ako se vaš broj ne može savršeno razmotriti, pojednostavite ga. U stvarnosti brojevi kojima želite odrediti kvadratne korijene neće biti lijepi zaokruženi brojevi s lijepim kvadratima poput 400. U tim slučajevima možda neće biti moguće dobiti cijeli broj kao odgovor. Umjesto toga, koristeći sve čimbenike snage koje možete pronaći, odgovor možete odrediti kao manji kvadratni korijen lakši za upotrebu. To činite smanjivanjem broja na kombinaciju faktora snage i drugih čimbenika, a zatim pojednostavljivanjem.
   • Kao primjer uzimamo kvadratni korijen iz 147. 147 nije umnožak dva savršena kvadrata, pa ne možemo dobiti lijepu cijelu vrijednost. Ali to je umnožak savršenog kvadrata i drugog broja - 49 i 3. Pomoću ovih podataka možemo svoj odgovor napisati najjednostavnijim riječima:
     • Sqrt (147)
     • = Kvadrat (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × kvadratni kvadrat (3)
4. Pojednostavite, ako je potrebno. Koristeći kvadratni korijen na najjednostavniji način, obično je prilično lako dobiti okvirnu procjenu odgovora procjenom preostalih kvadratnih korijena i njihovim množenjem. Jedan od načina da poboljšate svoja pogađanja jest pronaći savršene kvadrate s obje strane broja u vašem kvadratnom korijenu. Znate da je decimalna vrijednost broja u vašem kvadratnom korijenu negdje između ova dva broja, pa će i vaša pretpostavka morati biti između ovih brojeva.
   • Vratimo se našem primjeru. Budući da je 2 = 4 i 1 = 1, znamo da je kvadrat (3) između 1 i 2 - vjerojatno bliže 2 od 1. Procjenjujemo da je 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Ako to provjerimo kalkulatorom, vidjet ćemo da smo prilično blizu odgovora: 12,13.
     • Ovo također vrijedi i za veće brojeve. Na primjer, sqrt (35) je otprilike između 5 i 6 (vjerojatno bliže 6). 5 = 25 i 6 = 36,35 je između 25 i 36, pa će kvadratni korijen biti između 5 i 6. Budući da je 35 malo ispod 36, možemo s izvjesnom sigurnošću reći da je kvadratni korijen samo je manje od 6. Provjera kalkulatorom daje nam odgovor oko 5,92 - bili smo u pravu.
5. Kao prvi korak, broj možete pojednostaviti na najmanje zajednički višestruki. Traženje faktora snage nije potrebno ako lako možete pronaći proste faktore broja (čimbenike koji su ujedno i prosti brojevi). Zapiši broj u smislu najmanje uobičajenih višekratnika. Zatim potražite među faktorima podudaranje parova prostih brojeva. Kad pronađete dva glavna čimbenika koja se podudaraju, uklonite ih iz kvadratnog korijena i smjestite a ovih brojeva izvan znaka kvadratnog korijena.
   • Na primjer, ovom metodom određujemo kvadratni korijen iz 45. Znamo da je 45 = 9 × 5, a da je 9 = 3 × 3. Dakle, kvadratni korijen možemo napisati ovako: Sqrt (3 × 3 × 5). Jednostavno izbrišite trojke i stavite trojku izvan kvadratnog korijena da biste dobili pojednostavljeni kvadratni korijen: (3) Sqrt (5). Sada možete lako napraviti procjenu.
   • Posljednji primjer; određujemo kvadratni korijen iz 88:
     • Sqrt (88)
     • = Kvadrat (2 × 44)
     • = Kvadrat (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). U našem kvadratnom korijenu imamo nekoliko dva. Budući da je 2 osnovno, možemo ukloniti par i staviti 2 izvan korijena.
     • = Naš kvadratni korijen u najjednostavnijim uvjetima je (2) Sqrt (2 × 11) ili (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Sada možemo pristupiti Sqrtu (2) i Sqrtu (11) i pronaći približni odgovor, ako smo to htjeli.

Metoda 2 od 2: Pronalaženje kvadratnih korijena bez kalkulatora

Uz dugu podjelu

1. Podijelite znamenke svog broja u parove. Ova je metoda slična dugoj podjeli, koja vam omogućuje dijeljenje točno kvadratni korijen broja znamenka po znamenka. Iako nije neophodno, rastavljanje broja na izvedive dijelove može olakšati rješavanje, pogotovo ako je dugo. Prvo nacrtajte okomitu crtu koja dijeli radno područje na 2 područja, a zatim kraću crtu pri vrhu desnog područja, dijeleći je na manji gornji dio i veći dio ispod. Zatim podijelite broj u parove brojeva, počevši od decimalne točke. Prema ovom pravilu 79520789182.47897 postaje "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Napišite ovaj broj u gornji lijevi dio.
   • Kao primjer, izračunajmo kvadratni korijen od 780,14. Podijelite svoj radni prostor kao gore i u gornjem lijevom kutu napišite "7 80, 14". U redu je ako je krajnje lijevo samo jedan broj, umjesto dva. Zatim odgovor napišete (kvadratni korijen 780,14) na vrh desnog područja.
2. Pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak krajnjoj lijevoj znamenci ili broju. Pronađite najveći kvadrat koji je manji ili jednak ovom broju, a zatim pronađite kvadratni korijen ovog kvadrata. Ovaj broj je n. Napiši to u gornjem desnom dijelu, a napiši kvadrat n u donji kvadrant tog područja.
   • U našem primjeru krajnja lijeva znamenka je broj 7. Budući da znamo da je 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, možemo reći da je n = 2 jer je ovo najveći cijeli broj čiji je kvadrat manji ili jednak 7. Napišite 2 u gornji desni kvadrant. Ovo je prva znamenka odgovora. Zapišite 4 (kvadrat 2) u donji desni kvadrant. Ovaj je broj važan za sljedeći korak.
3. Oduzmi broj koji si izračunao krajnje lijeve znamenke ili broja. Kao i kod dugog dijeljenja, sljedeći je korak oduzimanje kvadrata od broja koji smo upravo koristili za izračun. Zapiši ovaj broj ispod krajnjeg lijevog broja i oduzmi ih. Odgovor napišite u nastavku.
   • U našem primjeru napišemo 4 ispod 7 i oduzmemo ga. Ovo daje 3 odgovarajući na.
4. Pomaknite sljedeći broj prema dolje. Postavite ovo pored vrijednosti koju ste pronašli u prethodnom uređivanju. Pomnožite broj gore desno s dva i zapišite ga dolje desno. Ostavite razmak pored broja koji ste upravo zapisali za zbroj koji ćete učiniti u sljedećem koraku. Ovdje napišite "_ × _ =" ".
   • U našem primjeru sljedeći je broj "80". Napišite "80" pored 3 u lijevi kvadrant. Zatim pomnožite broj gore desno s 2. Ovaj broj je 2, dakle 2 × 2 = 4. Zapišite "" 4 "" dolje desno, a zatim slijedi _×_=.
5. Unesite brojeve s desne strane. U prazan prostor zbroja (desno) unesite najveći cijeli broj koji će rezultat zbrajanja množenja zdesna umanjiti ili izjednačiti s trenutnim brojem s lijeve strane.
   • U našem primjeru unosimo 8, a to daje 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To je veće od 380. Dakle, 8 je preveliko, ali 7 vjerojatno nije. Ispunite 7 i riješite: 4 (7) × 7 = 329. 7 je dobro jer je 329 manje od 380. U gornjem desnom dijelu napišite 7. Ovo je druga znamenka u kvadratnom korijenu 780,14.
6. Oduzmite broj koji ste upravo izračunali od trenutnog broja s lijeve strane. Tako od trenutnog odgovora na lijevoj strani oduzimate rezultat množenja s desne strane. Napišite svoj odgovor izravno ispod njega.
   • U našem primjeru od 380 oduzimamo 329 i to daje 51 kao rezultat.
7. Ponovite korak 4. Pomaknite sljedeći par brojeva prema dolje sa 780,14. Kad dođete do zareza, zapišite ga u odgovor s desne strane. Zatim pomnožite gornji desni broj s 2 i napišite odgovor pored ("_ × _") kao gore.
   • U svom odgovoru sada pišemo zarez, jer se s tim susrećemo i u 780.14. Premjestite sljedeći par (14) niz lijevi kvadrant. 27 x 2 = 54, pa u donji desni kvadrant zapisujemo "54 _ × _ =".
8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveći broj koji daje odgovor koji je manji ili jednak trenutnom broju slijeva. Riješiti.
   • U našem primjeru, 549 × 9 = 4941, što je manje ili jednako broju s lijeve strane (5114). 549 × 10 = 5490, što je previsoko, pa je 9 naš odgovor. Napiši 9 kao sljedeći gornji desni broj i oduzeti rezultat množenja od lijevog broja: 5114 -4941 = 173.
9. Da bi rezultat bio točan, ponavljajte prethodni postupak dok ne pronađete odgovor s potrebnim brojem decimalnih mjesta (stotink, tisućinki).

Razumjeti postupak

1. Uzmite broj čiji kvadratni korijen želite izračunati kao površinu S kvadrata. Budući da je površina kvadrata L, gdje je L duljina jedne od njegovih stranica, pa pronalaženjem kvadratnog korijena vašeg broja pokušavate izračunati duljinu stranice stranice tog kvadrata.
2. Dajte svakoj znamenci svog odgovora pismo. Unesite varijablu A kao prvu znamenku L (kvadratni korijen koji pokušavamo izračunati). B je druga znamenka, C treća i tako dalje.
3. Dajte slovo svakom "paru brojeva" broja s kojim započinjete. Dajte varijablu S_a na prvi par znamenki u S (početna vrijednost), S._b na drugi par znamenki itd.
4. Shvatite vezu između ove metode i dugog dijeljenja. Ova metoda pronalaska kvadratnog korijena u osnovi je duga podjela, gdje početnu vrijednost dijelite s kvadratnim korijenom i kao odgovor dajete "kvadratni korijen". Kao i kod dugog dijeljenja, gdje vas istovremeno zanimaju samo sljedeće znamenke, istovremeno vas zanimaju samo sljedeće dvije znamenke (koje odgovaraju sljedećoj znamenci kvadratnog korijena).
5. Nađi najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak S._a je. Prva znamenka A u našem odgovoru tada je najveći cijeli broj čiji kvadrat nije veći od S._a (Takav da je A² ≤ Sa (A + 1) ²). U našem primjeru, S_a = 7, a 2² ≤ 7 3², pa je A = 2.
   • Imajte na umu da ako 88962 podijelite sa 7 pomoću dugog dijeljenja, prvi je korak jednak: prvo se bavite prvom znamenkom 88962 (8) i želite najveću znamenku pomnoženu sa 7 koja je manja ili jednaka 8. U osnovi vi odrediti d takav da je 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). U ovom je slučaju d jednako 1.
6. Vizualizirajte kvadrat čije područje želite pronaći. Vaš odgovor, kvadratni korijen početne vrijednosti, je L, koji opisuje duljinu kvadrata s površinom S (početna vrijednost). Vrijednosti za A, B i C predstavljaju znamenke u vrijednosti L. Drugi način da se to kaže je da je za dvoznamenkasti odgovor 10A + B = L, a za troznamenkasti odgovor 100A + 10B + C = L i tako dalje.
   • U našem primjeru (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Zapamtite da 10A + B predstavlja naš odgovor L zajedno s B u položaju jedinica, a A u položaju desetica. Na primjer, ako je A = 1 i B = 2, tada je 10A + B broj 12. (10A + B) ² je površina cijelog trga, dok 100A² je površina najvećeg unutarnjeg kvadrata, B² je površina najmanjeg kvadrata i 10A × B je površina svakog od preostalih pravokutnika. Kroz ovaj dugački, komplicirani postupak možemo pronaći površinu cijelog kvadrata dodavanjem površina kvadrata i pravokutnika koji su njegov dio.
7. Oduzmi A² od S._a. Ponesite par brojeva (S._b) dolje od broja S. S._a S._b gotovo je ukupna površina kvadrata, od koje ste upravo oduzeli površinu najvećeg unutarnjeg kvadrata. Ostatak je, recimo, broj N1, koji smo dobili u koraku 4 (N1 = 380 u našem primjeru). N1 jednako je 2 × 10A × B + B² (površina 2 pravokutnika plus površina malog kvadrata).
8. Pogledajte N1 = 2 × 10A × B + B², također zapisano kao N1 = (2 × 10A + B) × B. U našem primjeru već znate N1 (380) i A (2), pa sada trebate pronaći B. B vjerojatno nije cijeli broj, pa morate zapravo naći najveći cijeli broj B, takav da je (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Dakle, sada imate: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Riješi jednadžbu. Da biste riješili ovu jednadžbu, pomnožite A s 2, pomaknite je na deset (pomnožite s 10), stavite B u jedinice i rezultat pomnožite s B. Drugim riječima, (2 × 10A + B) × B. To je točno ono što radite kada u donjem desnom kvadrantu u koraku 4 napišete "N_ × _ =" (s N = 2 × A). U 5. koraku odredite najveći cijeli broj B koji stane ispod crte, dakle (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Oduzmite površinu (2 × 10A + B) × B od ukupne površine. To daje površinu S- (10A + B) ² koju još niste uzeli u obzir (i koju koristite za izračun sljedećih brojeva na isti način).
11. Da biste izračunali sljedeću znamenku C, ponovite postupak. Sljedeći par brojeva pomaknite od S prema dolje (S_c) da biste dobili N2 lijevo i potražite najveći C tako da sada imate: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (jednako dvostrukom dvoznamenkastom broju "AB", a slijedi do "_ × _ =" Sada odredite najveći broj koji ovdje možete unijeti, što će vam dati odgovor koji je manji ili jednak N2.

Savjeti

• Pomicanje zareza za dva mjesta (faktor 100) pomiče zarez u odgovarajućem kvadratnom korijenu za jedno mjesto (faktor 10).
• U primjeru bi se 1,73 moglo smatrati "ostatkom": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ova metoda radi za bilo koji brojevni sustav, a ne samo za decimalni (decimalni) sustav.
• Slobodno postavite izračune tamo gdje želite. Neki ga zapisuju iznad broja za koji žele izračunati kvadratni korijen.
• Alternativna metoda je sljedeća: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Na primjer, za izračunavanje kvadratnog korijena od 780,14 uzmite cijeli broj čiji je kvadrat najbliži 780,14 (28), dakle = 780,14, x = 28 i y = -3,86. Ispunjavanjem i procjenom dobivamo x + y / (2x), a to daje (pojednostavljeni pojmovi) 78207/2800 ili oko 27.931 (1); sljedeći izraz, 4374188/156607 ili oko 27.930986 (5). Svaki pojam dodaje približno 3 decimalna mjesta preciznosti prethodnom.

Upozorenja

• Svakako podijelite broj u parove od decimalne točke. Podijelivši 79520789182.47897 kao "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "daje netočan rezultat.