Sadržaj

• Kročiti
• Dio 1 od 3: Osnove analize
• Dio 2 od 3: Razumijevanje izvedenica
• Dio 3 od 3: Razumijevanje integrala
• Savjeti

Analiza (također se naziva račun) je grana matematike usmjerena na ograničenja, funkcije, izvode, integrale i beskonačne nizove. Ovaj predmet pokriva velik dio matematike i temelji mnoge formule i jednadžbe koje se koriste u fizici i mehanici. Vjerojatno ćete trebati imati nekoliko godina matematike u srednjoj školi da biste pravilno razumjeli analizu, ali ovaj će vas članak započeti s učenjem prepoznavanja ključnih pojmova, kao i s boljim razumijevanjem teorije.

Kročiti

Dio 1 od 3: Osnove analize

1. Analiza je proučavanje kako se stvari mijenjaju. Analiza je grana matematike koja ispituje brojeve i grafikone, obično preuzete iz stvarnih podataka, i objašnjava kako se oni mijenjaju. Iako se ovo u početku možda ne čini vrlo korisno, analiza je jedna od najčešće korištenih grana matematike. Zamislite da imate alate koji će vam reći koliko brzo vaše poslovanje raste u bilo kojem trenutku ili kako zacrtati tijek svemirskog broda i koliko se brzo troši njegovo gorivo. Analiza je važan alat u inženjerstvu, ekonomiji, statistici, kemiji i fizici, a doprinijela je mnogim izumima i otkrićima.
2. Funkcije su odnosi između dva broja i koriste se za mapiranje odnosa. Oni su pravila odnosa između brojeva, a matematičari ih koriste za izradu grafikona. U funkciji svaki ulaz ima točno jedan ishod. Na primjer: u ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Razmislite o konceptu beskonačnosti. Beskonačnost je neprestano ponavljanje procesa. To nije određeno mjesto (ne možete ići u beskonačnost), već ponašanje broja ili jednadžbe, ako je to učinjeno zauvijek. Ovo je važno za proučavanje promjena: možda biste željeli znati koliko se brzo vaš automobil kreće u bilo kojem trenutku, ali je li to tako brzo kako se vaš automobil kreće tijekom trenutne sekunde? Milisekunda? Nanosekunda? Možete pronaći beskrajno manje dijelove vremena da budete još precizniji i tada dolazi analiza.
3. Razumjeti koncept ograničenja. Ograničenje vam govori što se događa kad se nešto približi beskonačnosti. Uzmite broj 1 i podijelite ga s 2. Nastavite dijeliti sa 2 iznova i iznova. 1 postaje 1/2, a zatim 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 itd. Svaki put kad broj postane sve manji i manji, "bliži" nuli. Ali gdje se zaustavlja? Koliko puta morate podijeliti 1 sa 2 da biste dobili nulu? Umjesto da odgovorite na ovo pitanje, u analizi ste postavili jedno ograničiti U ovom je slučaju granica.
   • Ograničenja je najlakše vizualizirati na grafu - na primjer, postoje li točke koje se graf gotovo dotakne, ali nikad sasvim?
   • Ograničenja mogu biti brojna, beskonačna ili čak nepostojeća. Na primjer, s redoslijedom zbrajanja 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... i to se nastavlja u nedogled, konačni broj postaje beskrajno velik. Granica tada postaje beskonačna.
4. Pregledajte osnovne matematičke koncepte algebre, trigonometrije i osnove matematike. Analiza se oslanja na velik dio matematike koju ste prije naučili. Dobro informiranje o svim temama olakšava učenje i razumijevanje analiza. Neke teme koje treba razmotriti su:
   • Algebra. Morate razumjeti različite procese i biti sposobni rješavati jednadžbe i sustave jednadžbi s više varijabli. Razumjeti osnove zbirki. Vježbajte izradu grafova.
   • Geometrija. Geometrija je proučavanje oblika. Trebali biste imati osnovno znanje o trokutima, pravokutnicima i krugovima i kako izračunati stvari poput opsega i površine. Razumjeti kutove, linije i koordinate
   • Trigonometrija. Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima krugova i pravokutnih trokuta. Znati koristiti trigonometrijske identitete, grafikone, funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije.
5. Kupite grafički kalkulator. Analizu nije lako razumjeti bez da se vidi što radite. Grafički kalkulatori čine funkcije vizualnima kako biste mogli bolje razumjeti s kojim jednadžbama imate posla. Često se ograničenja prikazuju i na zaslonu, a izvodi i funkcije izračunavaju se automatski.
   • Mnogi pametni telefoni i tableti danas nude jeftine, ali učinkovite grafičke aplikacije ako ne želite ili ne možete kupiti grafički kalkulator.

Dio 2 od 3: Razumijevanje izvedenica

1. Analiza se koristi za proučavanje "promjene u određenom trenutku". Znanje zašto se nešto mijenja u točno određenom trenutku srž je analize. Na primjer, analiza vam daje ne samo brzinu automobila, već i koliko se ta brzina mijenja u bilo kojem trenutku. Ovo je jedna od najjednostavnijih upotreba analize, ali vrlo važna. Zamislite koliko su takve informacije važne za određivanje brzine koja je potrebna da bi svemirski brod stigao do Mjeseca!
   • Utvrđivanje promjene u određenom vremenskom trenutku ima razlikovati. Diferencijacija je prva od dvije glavne grane analize.
2. Koristite izvedenice da biste razumjeli kako se stvari mijenjaju u određenom trenutku. "Derivat" je lijepa riječ za nešto što često nervira učenike. Međutim, sam koncept nije toliko teško razumjeti - on samo znači "koliko se brzo nešto mijenja." Izvodi s kojima ćete se najviše susretati u svakodnevnom životu imaju veze s brzinom. Međutim, obično ga ne zovete "izvedenicom brzine", već jednostavno "ubrzanjem".
   • Ubrzanje je izvedenica - govori vam koliko brzo se nešto ubrzava ili usporava ili kako se njegova brzina mijenja.
3. Znajte da je brzina promjene jednaka nagibu između dvije točke. Ovo je jedno od najvažnijih otkrića analize. Stopa promjene između dviju točaka jednaka je nagibu crte između te dvije točke. Zamislite samo jednostavnu liniju, poput one jednadžbe ${ prikaz stila y = 3x.}$Znajte da možete odrediti nagib zakrivljenih linija. Određivanje nagiba ravne crte relativno je jednostavno: koliko se mijenja ${ displaystyle y}$Ako želite preciznije izračunati promjenu, pobrinite se da su točke bliže jedna drugoj. Što bliže odaberete dvije točke, točniji je vaš odgovor. Pretpostavimo da želite znati koliko vaš automobil ubrzava kad pritisnete papučicu gasa. Ne želite mjeriti promjenu brzine između kuće i supermarketa, već promjenu brzine od trenutka kada pritisnete papučicu gasa. Što se vaše čitanje približi tom djeliću sekunde, točniji je vaš izračun promjene.
   • Primjerice, znanstvenici istražuju koliko brzo neke vrste izumiru kako bi ih spasile. Međutim, više životinja umire zimi nego ljeti, pa nije korisno proučavati brzinu promjena tijekom cijele godine - bolje je utvrditi brzinu promjena u manjem razdoblju, poput od 1. srpnja do 1. kolovoza.
4. Upotrijebite beskonačno kratke crte za određivanje "trenutne brzine promjene" ili pronađite izvedenicu. Tu analiza često postaje pomalo zbunjujuća, ali to je zapravo rezultat dvije jednostavne činjenice. Prije svega, znate da je nagib crte jednak brzini promjene te crte. Drugo, znate da što su točke linije bliže jedna drugoj, očitanje će postati točnije. Ali kako pronaći brzinu promjene u određenoj točki ako je nagib odnos između dvije točke? Odgovor: Birate dvije točke koje su beskrajno blizu jedna drugoj.
   • Razmotrite primjer gdje nastavljate dijeliti 1 s 2, dobivajući tako 1/2, 1/4, 1/8 itd. Dakle, na kraju se približite nuli, a odgovor je "gotovo nula". Točke su toliko blizu jedna drugoj da su "međusobno gotovo jednake". To je priroda izvedenica.
5. Naučite kako odrediti razne izvedenice. Postoji mnoštvo različitih tehnika za pronalaženje izvedenica, ovisno o jednadžbi, ali većina ih ima smisla ako ste gore naučili osnove derivata. Sve izvedenice su način pronalaženja nagiba "beskonačno male" crte. Sad kad znate više o teoriji izvedenica, velik dio posla nalazi se u pronalaženju odgovora.
6. Pronađite izvedene jednadžbe za predviđanje brzine promjene u bilo kojem trenutku. Korisno je koristiti derivate za određivanje brzine promjene u bilo kojem trenutku, ali ljepota analize je u tome što možete stvoriti novi model za bilo koju funkciju. Derivat od ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ako vam je ovo teško razumjeti, pokušajte se sjetiti stvarnih primjera izvedenica. Najjednostavniji primjer temelji se na brzini, koja obuhvaća puno različitih izvedenica s kojima se svakodnevno susrećemo. Ne zaboravi: izvedenica je mjera koliko se brzo nešto mijenja. Sjetite se jednostavnog eksperimenta. Valjate mramor po stolu i svaki put izmjerite koliko se kreće i koliko brzo. Sada zamislite da valjani mramor prati liniju na grafikonu - koristite derivate za mjerenje trenutnih promjena u bilo kojem trenutku na toj liniji.
   • Koliko se brzo mramor kreće? Kojom se brzinom mijenja položaj (ili izvedenica) pokretnog mramora? Ovu izvedenicu nazivamo "brzina".
   • Kotrljajte mramor po padini i promatrajte kako se mijenja brzina. Koja je brzina promjene ili izvedenice brzine mramora? Ovu izvedenicu nazivamo "ubrzanje".
   • Valjajte mramor po valovitoj stazi, poput tobogana. U kojoj mjeri mramor dobiva brzinu kad se kotrlja, a koliko mramor usporava uzbrdo? Koliko brzo ide mramor točno kad je na pola prvog brda? Ovo je trenutna brzina promjene ili derivat tog mramora u toj određenoj točki.

Dio 3 od 3: Razumijevanje integrala

1. Znajte da analizom možete pronaći složena područja i volumene. Analizom možete izmjeriti složene oblike koje je inače teško izmjeriti. Razmotrite, na primjer, problem koji želite znati koliko vode sadrži dugo jezero nepravilnog oblika - nemoguće je izmjeriti svaku litru vode zasebno ili pomoću ravnala izmjeriti oblik jezera. Analizom možete proučiti kako se rubovi jezera mijenjaju, a zatim pomoću tih podataka saznati koliko vode sadrži.
   • Izrada geometrijskih modela i proučavanje volumena integrirati. Integrirani račun druga je važna grana analize.
2. Znajte da je integracija područje ispod grafa. Integracija se koristi za mjerenje prostora ispod crte, što vam omogućuje određivanje područja čudnih ili nepravilnih oblika. Uzmi jednadžbu ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Znajte da morate odabrati područje koje ćete integrirati. Ne možete jednostavno integrirati cijelu funkciju. Na primjer, ${ displaystyle y = x}$Razmislite kako izračunati površinu pravokutnika. Pretpostavimo da imate ravnu crtu iznad grafikona, kao što je ${ displaystyle y = 4.}$Znajte da se u integralnom računu mnoštvo malih pravokutnika zbraja da bi se pronašlo područje područja. Kada enormno povećate krivulju, čini se da je ravna crta. To vidite svaki dan - ne možete primijetiti zakrivljenost zemlje jer ste tako blizu zemljine površine. Integracija stvara beskonačni broj malih pravokutnika ispod krivulje koji su toliko mali da su u osnovi ravni, što vam omogućuje da ih izbrojite. Svi ovi pravokutnici zbrojeni čine područje područja pod krivuljom.
   • Pretpostavimo da ispod grafikona zbrojite puno malih segmenata, a to je širina svakog segmenta skoro je nula.
3. Znati pravilno čitati i zapisivati ​​integrale. Integrali se sastoje od 4 dijela. Tipični integral izgleda ovako:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Saznajte više o pronalaženju integrala. Integracija postoji u mnogim oblicima, a za integriranje svake funkcije morate naučiti puno različitih formula. Međutim, svi slijede gore navedena načela: integracija je zbroj beskonačnog broja stvari.
   • Integrirajte zamjenom.
   • Izračunaj neodređene integrale.
   • Integrirajte dijeljenjem.
4. Znajte da je integracija naličje diferencijacije i obrnuto. Ovo je analitičko pravilo koje je toliko važno da je dobilo svoje ime: Glavni teorem integralnog računanja.Budući da su integracija i diferencijacija toliko usko povezani, kombinacija njih dviju može se koristiti za određivanje brzine promjene, ubrzanja, brzine, mjesta, kretanja itd., Bez obzira na to kojom informacijom raspolažete.
   • Primjerice, imajte na umu da je izvod brzine ubrzanje, tako da pomoću brzine možete pronaći ubrzanje. Ali ako znate samo ubrzanje nečega (poput predmeta koji padaju uslijed gravitacije), tada se možete integrirati kako biste povratili brzinu!
5. Znajte da integracijom možete kontrolirati i glasnoću 3D objekata. Rotiranje ravnog oblika jedan je od načina za stvaranje 3D čvrstih tijela. Zamislite novčić koji se vrti na stolu - primijetite kako novčić poprima oblik kugle dok se vrti. Ovaj koncept omogućuje vam određivanje glasnoće prema postupku poznatom kao "volumen rotacijom".
   • To vam omogućuje određivanje volumena bilo koje krutine, sve dok imate funkciju koja je predstavlja. Na primjer, možete stvoriti funkciju koja prati dno jezera, a zatim pomoću nje odrediti volumen jezera ili koliko vode sadrži.

Savjeti

• Vježba je savršena, zato radite vježbe u svom udžbeniku - čak i one koje vaš učitelj nije dao - i provjerite svoje odgovore kako biste bolje razumjeli koncepte.
• Ako ne možete pronaći rješenje, pitajte svog učitelja.